Theorem isumnn0nna 7208

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity of a class term A(k).

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nna.1	|- A e. V
isumnn0nna.3	|- F e. V
isumnn0nna.4	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isumnn0nna.5	|- (k e. NN0 -> (F` k) = A)

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nna	|- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Distinct variable groups:   x,y,F   y,k

Proof of Theorem isumnn0nna

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumnn0nna.3	. . . 4 |- F e. V
2	1	isumnn0nn 7207	. . 3 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_j e. NN0 (F` j) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)))
3		isumnn0nna.5	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (F` k) = A)
4	3	sumeq2i 6988	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 A
5		ax-17 971	. . . . 5 |- (y e. (F` k) -> A.j y e. (F` k))
6		isumnn0nna.4	. . . . . 6 |- (y e. F -> A.k y e. F)
7		ax-17 971	. . . . . 6 |- (y e. j -> A.k y e. j)
8	6, 7	hbfv 3729	. . . . 5 |- (y e. (F` j) -> A.k y e. (F` j))
9		fveq2 3724	. . . . 5 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
10	5, 8, 9	cbvsum 6986	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_j e. NN0 (F` j)
11	4, 10	eqtr3 1497	. . 3 |- sum_k e. NN0 A = sum_j e. NN0 (F` j)
12		0nn0 6113	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
13		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (z e. 0 -> A.k z e. 0)
14		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (y e. 0 -> A.k y e. 0)
15	6, 14	hbfv 3729	. . . . . . . 8 |- (y e. (F` 0) -> A.k y e. (F` 0))
16	12	elisseti 1818	. . . . . . . . 9 |- 0 e. V
17	16, 13	hbcsb1 2025	. . . . . . . 8 |- (z e. [_0 / k]_A -> A.k z e. [_0 / k]_A)
18	15, 17	hbeq 1565	. . . . . . 7 |- ((F` 0) = [_0 / k]_A -> A.k(F` 0) = [_0 / k]_A)
19		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
20		csbeq1a 2006	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> A = [_0 / k]_A)
21	19, 20	eqeq12d 1489	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) = A <-> (F` 0) = [_0 / k]_A))
22	13, 18, 21, 3	vtoclgaf 1851	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) = [_0 / k]_A)
23	12, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) = [_0 / k]_A
24	5, 8, 9	cbvsum 6986	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_j e. NN (F` j)
25	24	eqcomi 1479	. . . . . 6 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN (F` k)
26		nnnn0t 6106	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
27	26, 3	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (F` k) = A)
28	27	sumeq2i 6988	. . . . . 6 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_k e. NN A
29	25, 28	eqtr 1495	. . . . 5 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN A
30	23, 29	opreq12i 3973	. . . 4 |- ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)) = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A)
31	30	eqcomi 1479	. . 3 |- ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j))
32	2, 11, 31	3eqtr4g 1531	. 2 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))
33	3	eleq1d 1540	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. CC <-> A e. CC))
34	33	ralbiia 1673	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.k e. NN0 A e. CC)
35		ax-17 971	. . . 4 |- ((F` k) e. CC -> A.j(F` k) e. CC)
36		ax-17 971	. . . . 5 |- (z e. CC -> A.k z e. CC)
37	8, 36	hbel 1566	. . . 4 |- ((F` j) e. CC -> A.k(F` j) e. CC)
38	9	eleq1d 1540	. . . 4 |- (k = j -> ((F` k) e. CC <-> (F` j) e. CC))
39	35, 37, 38	cbvral 1798	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
40	34, 39	bitr3 175	. 2 |- (A.k e. NN0 A e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
41	32, 40	sylanb 449	1 |- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  Vcvv 1811  [_csb 2001   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237  NNcn 5296  NN0cn0 5297   seq1 cseq1 6307   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain