Theorem istps3 7608

Description: A standard textbook definition of a topological space.

Assertion

Ref	Expression
istps3	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,J,y

Proof of Theorem istps3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps2 7607	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
2		anass 439	. 2 |- (((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)) <-> (J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
3		ancom 435	. . 3 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
4		3anass 779	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) <-> (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
5	4	anbi1i 481	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
6		ssexg 2721	. . . . . . 7 |- ((J (_ P~A /\ P~A e. V) -> J e. V)
7		pwexg 2746	. . . . . . 7 |- (A e. J -> P~A e. V)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((J (_ P~A /\ A e. J) -> J e. V)
9	8	3adant2 798	. . . . 5 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> J e. V)
10		istopg 7596	. . . . 5 |- (J e. V -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
11	9, 10	syl 10	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
12	11	pm5.32i 645	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
13	3, 5, 12	3bitr2 179	. 2 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
14	1, 2, 13	3bitr 177	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  P~cpw 2401  <.cop 2411  U.cuni 2503  Topctop 7588  TopSpctps 7589

This theorem is referenced by:  istps4OLD 7609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-top 7592  df-topsp 7593

Copyright terms: Public domain