Theorem istps 7607

Description: Express the predicate "is a topological space."

Assertion

Ref	Expression
istps	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Proof of Theorem istps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpsex 7606	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp -> (A e. V /\ J e. V))
2		pm3.27 323	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A = U.J)
3		uniexg 2877	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
4	3	adantr 391	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> U.J e. V)
5	2, 4	eqeltrd 1551	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A e. V)
6		elisset 1820	. . . 4 |- (J e. Top -> J e. V)
7	6	adantr 391	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> J e. V)
8	5, 7	jca 288	. 2 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> (A e. V /\ J e. V))
9		eqeq1 1484	. . . . 5 |- (x = A -> (x = U.y <-> A = U.y))
10	9	anbi2d 618	. . . 4 |- (x = A -> ((y e. Top /\ x = U.y) <-> (y e. Top /\ A = U.y)))
11		eleq1 1537	. . . . 5 |- (y = J -> (y e. Top <-> J e. Top))
12		unieq 2514	. . . . . 6 |- (y = J -> U.y = U.J)
13	12	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- (y = J -> (A = U.y <-> A = U.J))
14	11, 13	anbi12d 630	. . . 4 |- (y = J -> ((y e. Top /\ A = U.y) <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
15	10, 14	opelopabg 2823	. . 3 |- ((A e. V /\ J e. V) -> (<.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)} <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
16		df-topsp 7595	. . . 4 |- TopSp = {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)}
17	16	eleq2i 1541	. . 3 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> <.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)})
18	15, 17	syl5bb 534	. 2 |- ((A e. V /\ J e. V) -> (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
19	1, 8, 18	pm5.21nii 681	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  <.cop 2415  U.cuni 2507  {copab 2671  Topctop 7590  TopSpctps 7591

This theorem is referenced by:  istps2 7608  retps 7655  stoi 10610

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-top 7594  df-topsp 7595

Copyright terms: Public domain