Theorem isssp 8379

Description: The predicate "is a subspace."

Hypotheses

Ref	Expression
isssp.g	|- G = (+v` U)
isssp.f	|- F = (+v` W)
isssp.s	|- S = (.s` U)
isssp.r	|- R = (.s` W)
isssp.n	|- N = (norm` U)
isssp.m	|- M = (norm` W)
isssp.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
isssp	|- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Proof of Theorem isssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isssp.g	. . . 4 |- G = (+v` U)
2		isssp.s	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		isssp.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
4		isssp.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	sspval 8378	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> H = {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)})
6	5	eleq2d 1544	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)}))
7		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (w = W -> (+v` w) = (+v` W))
8		isssp.f	. . . . . 6 |- F = (+v` W)
9	7, 8	syl6eqr 1528	. . . . 5 |- (w = W -> (+v` w) = F)
10	9	sseq1d 2091	. . . 4 |- (w = W -> ((+v` w) (_ G <-> F (_ G))
11		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (w = W -> (.s` w) = (.s` W))
12		isssp.r	. . . . . 6 |- R = (.s` W)
13	11, 12	syl6eqr 1528	. . . . 5 |- (w = W -> (.s` w) = R)
14	13	sseq1d 2091	. . . 4 |- (w = W -> ((.s` w) (_ S <-> R (_ S))
15		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (w = W -> (norm` w) = (norm` W))
16		isssp.m	. . . . . 6 |- M = (norm` W)
17	15, 16	syl6eqr 1528	. . . . 5 |- (w = W -> (norm` w) = M)
18	17	sseq1d 2091	. . . 4 |- (w = W -> ((norm` w) (_ N <-> M (_ N))
19	10, 14, 18	3anbi123d 895	. . 3 |- (w = W -> (((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N) <-> (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
20	19	elrab 1908	. 2 |- (W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)} <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
21	6, 20	syl6bb 538	1 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   (_ wss 2050  ` cfv 3188  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  .scns 8202  normcnm 8205  SubSpcss 8376

This theorem is referenced by:  sspid 8380  sspnv 8381  sspba 8382  sspg 8383  ssps 8385  sspn 8391  hhsst 9131  hhsssh2 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-nv 8207  df-va 8210  df-sm 8212  df-nm 8215  df-ssp 8377

Copyright terms: Public domain