Theorem iss 3397

Description: A subclass of the identity function is the identity function restricted to its domain.

Assertion

Ref	Expression
iss	|- (A (_ I <-> A = (I |` dom A))

Proof of Theorem iss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . . . 8 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. I))
2		df-br 2620	. . . . . . . . 9 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
3		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
4	3	ideq 3277	. . . . . . . . 9 |- (xIy <-> x = y)
5	2, 4	bitr3 175	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
6	1, 5	syl6ib 212	. . . . . . 7 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A -> x = y))
7	6	pm4.71rd 639	. . . . . 6 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A)))
8		eqcom 1477	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = y <-> y = x)
9	8	anbi1i 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = y /\ <.x, y>. e. A) <-> (y = x /\ <.x, y>. e. A))
10	7, 9	syl6bb 536	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (y = x /\ <.x, y>. e. A)))
11	10	exbidv 1279	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ I -> (E.y<.x, y>. e. A <-> E.y(y = x /\ <.x, y>. e. A)))
12		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
13		opeq2 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = x -> <.x, y>. = <.x, x>.)
14	13	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> (<.x, y>. e. A <-> <.x, x>. e. A))
15	12, 14	ceqsexv 1835	. . . . . . . . . 10 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. A) <-> <.x, x>. e. A)
16	11, 15	syl6bb 536	. . . . . . . . 9 |- (A (_ I -> (E.y<.x, y>. e. A <-> <.x, x>. e. A))
17	12	eldm2 3308	. . . . . . . . 9 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
18	16, 17	syl5bb 532	. . . . . . . 8 |- (A (_ I -> (x e. dom A <-> <.x, x>. e. A))
19	18	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (A (_ I -> ((x = y /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ <.x, x>. e. A)))
20		opeq2 2488	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> <.x, x>. = <.x, y>.)
21	20	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (<.x, x>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
22	21	pm5.32i 645	. . . . . . 7 |- ((x = y /\ <.x, x>. e. A) <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A))
23	19, 22	syl6bb 536	. . . . . 6 |- (A (_ I -> ((x = y /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A)))
24	7, 23	bitr4d 531	. . . . 5 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (x = y /\ x e. dom A)))
25	3	opelres 3372	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (I |` dom A) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. dom A))
26	5	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. I /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ x e. dom A))
27	25, 26	bitr2 174	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. dom A) <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))
28	24, 27	syl6bb 536	. . . 4 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A)))
29	28	19.21aivv 1287	. . 3 |- (A (_ I -> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A)))
30		reli 3273	. . . . 5 |- Rel I
31		relss 3246	. . . . 5 |- (A (_ I -> (Rel I -> Rel A))
32	30, 31	mpi 44	. . . 4 |- (A (_ I -> Rel A)
33		relres 3387	. . . . 5 |- Rel (I |` dom A)
34		eqrel 3250	. . . . 5 |- ((Rel A /\ Rel (I |` dom A)) -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
35	33, 34	mpan2 696	. . . 4 |- (Rel A -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
36	32, 35	syl 10	. . 3 |- (A (_ I -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
37	29, 36	mpbird 196	. 2 |- (A (_ I -> A = (I |` dom A))
38		resss 3383	. . 3 |- (I |` dom A) (_ I
39		sseq1 2082	. . 3 |- (A = (I |` dom A) -> (A (_ I <-> (I |` dom A) (_ I))
40	38, 39	mpbiri 194	. 2 |- (A = (I |` dom A) -> A (_ I)
41	37, 40	impbi 157	1 |- (A (_ I <-> A = (I |` dom A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  dom cdm 3170   |` cres 3172  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  f1ococnv2 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-dm 3188  df-res 3190

Copyright terms: Public domain