Theorem isopn2 7623

Description: A subset of the underlying set of a topology is open iff its complement is closed.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isopn2	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Proof of Theorem isopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 2163	. . . 4 |- (X \ S) (_ X
2		iscld.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	2	iscld2 7620	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
4	1, 3	mpan2 695	. . 3 |- (J e. Top -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
5		dfss4 2238	. . . . 5 |- (S (_ X <-> (X \ (X \ S)) = S)
6	5	biimp 151	. . . 4 |- (S (_ X -> (X \ (X \ S)) = S)
7	6	eleq1d 1537	. . 3 |- (S (_ X -> ((X \ (X \ S)) e. J <-> S e. J))
8	4, 7	sylan9bb 539	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> S e. J))
9	8	bicomd 520	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   \ cdif 2040   (_ wss 2043  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  Clsdccld 7610

This theorem is referenced by:  opncld 7624  iincld 7629  iscncl 7720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-cld 7613

Copyright terms: Public domain