Theorem isoeq1 3893

Description: Equality theorem for isomorphisms.

Assertion

Ref	Expression
isoeq1	|- (H = G -> (H Isom R, S (A, B) <-> G Isom R, S (A, B)))

Proof of Theorem isoeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq1 3690	. . 3 |- (H = G -> (H:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))
2		fveq1 3729	. . . . . 6 |- (H = G -> (H` x) = (G` x))
3		fveq1 3729	. . . . . 6 |- (H = G -> (H` y) = (G` y))
4	2, 3	breq12d 2636	. . . . 5 |- (H = G -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` x)S(G` y)))
5	4	bibi2d 620	. . . 4 |- (H = G -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
6	5	2ralbidv 1683	. . 3 |- (H = G -> (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
7	1, 6	anbi12d 630	. 2 |- (H = G -> ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) <-> (G:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y)))))
8		df-iso 3205	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
9		df-iso 3205	. 2 |- (G Isom R, S (A, B) <-> (G:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (G` x)S(G` y))))
10	7, 8, 9	3bitr4g 557	1 |- (H = G -> (H Isom R, S (A, B) <-> G Isom R, S (A, B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958  A.wral 1648   class class class wbr 2624  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188   Isom wiso 3189

This theorem is referenced by:  relogiso 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-iso 3205

Copyright terms: Public domain