Theorem isocnv 3881

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 3686	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-1-1-onto->A)
2	1	adantr 389	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> `'H:B-1-1-onto->A)
3		f1ocnvfv2 3864	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ z e. B) -> (H` (`'H` z)) = z)
4	3	adantrr 395	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` z)) = z)
5		f1ocnvfv2 3864	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ w e. B) -> (H` (`'H` w)) = w)
6	5	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` w)) = w)
7	4, 6	breq12d 2621	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
8	7	adantlr 393	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
9		breq1 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> (xRy <-> (`'H` z)Ry))
10		fveq2 3709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (`'H` z) -> (H` x) = (H` (`'H` z)))
11	10	breq1d 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` y)))
12	9, 11	bibi12d 627	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y))))
13		bicom 518	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry))
14	12, 13	syl6bb 534	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry)))
15		fveq2 3709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (`'H` w) -> (H` y) = (H` (`'H` w)))
16	15	breq2d 2620	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` (`'H` w))))
17		breq2 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((`'H` z)Ry <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
18	16, 17	bibi12d 627	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (`'H` w) -> (((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry) <-> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
19	14, 18	rcla42v 1871	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) -> (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
20	19	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- ((((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
21		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ z e. B) -> (`'H` z) e. A)
22		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ w e. B) -> (`'H` w) e. A)
23	21, 22	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H:B-->A /\ z e. B) /\ (`'H:B-->A /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
24	23	anandis 511	. . . . . . . . . 10 |- ((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
25	20, 24	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- (((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
26	25	an1rs 488	. . . . . . . 8 |- (((`'H:B-->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
27		f1of 3674	. . . . . . . . 9 |- (`'H:B-1-1-onto->A -> `'H:B-->A)
28	1, 27	syl 10	. . . . . . . 8 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-->A)
29	26, 28	sylanl1 460	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
30	8, 29	bitr3d 528	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
31	30	exp32 377	. . . . 5 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> (w e. B -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))))
32	31	r19.21adv 1710	. . . 4 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
33	32	r19.21aiv 1705	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
34	2, 33	jca 288	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
35		df-iso 3189	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36		df-iso 3189	. 2 |- (`'H Isom S, R (B, A) <-> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
37	34, 35, 36	3imtr4 219	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   class class class wbr 2609  `'ccnv 3159  -->wf 3168  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172   Isom wiso 3173

This theorem is referenced by:  isofr 3887  relogiso 8697  logisoOLD 8714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189

Copyright terms: Public domain