Theorem isnei 7718

Description: The predicate "N is a neighborhood of S." (Contributed by FL, 25-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isnei	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))))

Distinct variable groups:   g,J   g,N   S,g   g,X

Proof of Theorem isnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	neival 7717	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((nei` J)` S) = {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))})
3	2	eleq2d 1541	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> N e. {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))}))
4		ssexg 2721	. . . . . . 7 |- ((N (_ X /\ X e. V) -> N e. V)
5		uniexg 2871	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. V)
6	5, 1	syl5eqel 1552	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. V)
7	4, 6	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((N (_ X /\ J e. Top) -> N e. V)
8	7	expcom 374	. . . . 5 |- (J e. Top -> (N (_ X -> N e. V))
9	8	adantr 389	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (N (_ X -> N e. V))
10	9	adantrd 391	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N)) -> N e. V))
11		sseq1 2082	. . . . 5 |- (v = N -> (v (_ X <-> N (_ X))
12		sseq2 2083	. . . . . . 7 |- (v = N -> (g (_ v <-> g (_ N))
13	12	anbi2d 616	. . . . . 6 |- (v = N -> ((S (_ g /\ g (_ v) <-> (S (_ g /\ g (_ N)))
14	13	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (v = N -> (E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v) <-> E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N)))
15	11, 14	anbi12d 628	. . . 4 |- (v = N -> ((v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v)) <-> (N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))))
16	15	elab3g 1902	. . 3 |- (((N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N)) -> N e. V) -> (N e. {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} <-> (N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))))
17	10, 16	syl 10	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (N e. {v | (v (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ v))} <-> (N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))))
18	3, 17	bitrd 528	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (N e. ((nei` J)` S) <-> (N (_ X /\ E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem is referenced by:  neiint 7719  isneip 7720  neii1 7721  neii2 7722  neiss 7723  neips 7727  opnneissb 7728  opnssneib 7729  ssnei2 7730  innei 7736

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain