Theorem ismeti 7802

Description: Properties that determine a metric.

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. V
ismeti.1	|- D:(X X. X)-->RR
ismeti.2	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
ismeti.3	|- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. Met

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. . . 4 |- D:(X X. X)-->RR
2		ismeti.0	. . . . 5 |- X e. V
3	2, 2	xpex 3260	. . . 4 |- (X X. X) e. V
4		fex 3652	. . . 4 |- ((D:(X X. X)-->RR /\ (X X. X) e. V) -> D e. V)
5	1, 3, 4	mp2an 697	. . 3 |- D e. V
6	1	fdmi 3632	. . . . . 6 |- dom D = (X X. X)
7	6	dmeqi 3312	. . . . 5 |- dom dom D = dom ( X X. X)
8		dmxpid 3333	. . . . 5 |- dom ( X X. X) = X
9	7, 8	eqtr2 1496	. . . 4 |- X = dom dom D
10	9	ismet 7798	. . 3 |- (D e. V -> (D e. Met <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
11	5, 10	ax-mp 7	. 2 |- (D e. Met <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
12		ismeti.2	. . . 4 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((xDy) = 0 <-> x = y))
13		ismeti.3	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ y e. X /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
14	13	3expa 833	. . . . 5 |- (((x e. X /\ y e. X) /\ z e. X) -> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
15	14	r19.21aiva 1714	. . . 4 |- ((x e. X /\ y e. X) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
16	12, 15	jca 288	. . 3 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
17	16	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
18	11, 1, 17	mpbir2an 730	1 |- D e. Met

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   <_ cle 5295  Metcme 7789

This theorem is referenced by:  metxp 7834  cnmet 7904  dscmet 7918  imsmetlem 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-met 7793

Copyright terms: Public domain