Theorem iserzcmp0 7143

Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserzcmp0.1	|- A e. V
iserzcmp0.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
iserzcmp0	|- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))) -> 0 <_ A)

Distinct variable groups:   k,F   k,M

Proof of Theorem iserzcmp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5452	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
2	1	elisseti 1821	. . . . . 6 |- 0 e. V
3		iserzcmp0.1	. . . . . 6 |- A e. V
4		fvex 3738	. . . . . . 7 |- (ZZ>` M) e. V
5		snex 2756	. . . . . . 7 |- {0} e. V
6	4, 5	xpex 3266	. . . . . 6 |- ((ZZ>` M) X. {0}) e. V
7		iserzcmp0.2	. . . . . 6 |- F e. V
8	2, 3, 6, 7	iserzcmp 7142	. . . . 5 |- ((((<.M, + >. seq ((ZZ>` M) X. {0})) ~~> 0 /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)))) -> 0 <_ A)
9		serzclim0 7109	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq ((ZZ>` M) X. {0})) ~~> 0)
10	8, 9	sylanl1 462	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)))) -> 0 <_ A)
11	10	anandis 514	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ ((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ A.k e. (ZZ>` M)((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)))) -> 0 <_ A)
12	2	fvconst2 3852	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((ZZ>` M) X. {0})` k) = 0)
13	12	breq1d 2634	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k) <-> 0 <_ (F` k)))
14	13	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)) <-> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
15	14	biimprd 154	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)) -> ((F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k))))
16	12, 1	syl6eqel 1559	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR)
17	15, 16	jctild 603	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)) -> ((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ ((F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)))))
18		3anass 781	. . . . 5 |- (((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)) <-> ((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ ((F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k))))
19	17, 18	syl6ibr 213	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` M) -> (((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)) -> ((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k))))
20	19	r19.20i 1707	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)) -> A.k e. (ZZ>` M)((((ZZ>` M) X. {0})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>` M) X. {0})` k) <_ (F` k)))
21	11, 20	sylanr2 465	. 2 |- ((M e. ZZ /\ ((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)))) -> 0 <_ A)
22	21	3impb 831	1 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))) -> 0 <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  {csn 2413  <.cop 2415   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  iserzgt0 7211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain