Theorem iscld 7666

Description: The predicate "S is a closed set."

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
iscld	|- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))

Proof of Theorem iscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	cldval 7663	. . 3 |- (J e. Top -> (Clsd` J) = {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)})
3	2	eleq2d 1544	. 2 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)}))
4		elisset 1820	. . . 4 |- (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} -> S e. V)
5	4	adantl 390	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)}) -> S e. V)
6		ssexg 2726	. . . . . 6 |- ((S (_ X /\ X e. V) -> S e. V)
7	6	ancoms 438	. . . . 5 |- ((X e. V /\ S (_ X) -> S e. V)
8		uniexg 2877	. . . . . 6 |- (J e. Top -> U.J e. V)
9	8, 1	syl5eqel 1555	. . . . 5 |- (J e. Top -> X e. V)
10	7, 9	sylan 450	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S e. V)
11	10	adantrr 397	. . 3 |- ((J e. Top /\ (S (_ X /\ (X \ S) e. J)) -> S e. V)
12		sseq1 2085	. . . . 5 |- (x = S -> (x (_ X <-> S (_ X))
13		difeq2 2157	. . . . . 6 |- (x = S -> (X \ x) = (X \ S))
14	13	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (x = S -> ((X \ x) e. J <-> (X \ S) e. J))
15	12, 14	anbi12d 630	. . . 4 |- (x = S -> ((x (_ X /\ (X \ x) e. J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
16	15	elabg 1902	. . 3 |- (S e. V -> (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
17	5, 11, 16	pm5.21nd 682	. 2 |- (J e. Top -> (S e. {x | (x (_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))
18	3, 17	bitrd 530	1 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S (_ X /\ (X \ S) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  Vcvv 1814   \ cdif 2047   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657

This theorem is referenced by:  iscld2 7667  cldss 7668  cldopn 7669  topcld 7672  iincld 7676  islp2 7744  dtopcl 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-cld 7660

Copyright terms: Public domain