Theorem iscauf 7901

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D " presupposing F is a function.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
iscau3.3	|- N e. ZZ
iscau3.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
iscauf	|- ((D e. Met /\ F:Z-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))

Distinct variable groups:   j,k,x,F   D,j,k,x   j,N,k   j,X,k,x   j,Z,k,x

Proof of Theorem iscauf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . 3 |- X = dom dom D
2		iscau3.3	. . 3 |- N e. ZZ
3		iscau3.4	. . 3 |- Z = (ZZ>` N)
4	1, 2, 3	iscau3 7900	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5		ffvelrn 3809	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:Z-->X /\ j e. Z) -> (F` j) e. X)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (F` j) e. X)
7		ffvelrn 3809	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:Z-->X /\ k e. Z) -> (F` k) e. X)
8	7	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (F` k) e. X)
9	6, 8	jca 288	. . . . . . . . . 10 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
10	9	biantrurd 726	. . . . . . . . 9 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
11		df-3an 776	. . . . . . . . 9 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x))
12	10, 11	syl6bbr 537	. . . . . . . 8 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
13	12	imbi2d 611	. . . . . . 7 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> ((j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
14	13	ralbidva 1657	. . . . . 6 |- ((F:Z-->X /\ j e. Z) -> (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
15	14	rexbidva 1658	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
16	15	imbi2d 611	. . . 4 |- (F:Z-->X -> ((0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
17	16	ralbidv 1661	. . 3 |- (F:Z-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
18		fssxp 3632	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> F (_ (Z X. X))
19		uzssz 6375	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>` N) (_ ZZ
20		zsscn 6100	. . . . . . . . 9 |- ZZ (_ CC
21	19, 20	sstri 2070	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` N) (_ CC
22	3, 21	eqsstr 2088	. . . . . . 7 |- Z (_ CC
23		ssid 2077	. . . . . . 7 |- X (_ X
24		ssxp 3252	. . . . . . 7 |- ((Z (_ CC /\ X (_ X) -> (Z X. X) (_ (CC X. X))
25	22, 23, 24	mp2an 696	. . . . . 6 |- (Z X. X) (_ (CC X. X)
26		sstr 2069	. . . . . 6 |- ((F (_ (Z X. X) /\ (Z X. X) (_ (CC X. X)) -> F (_ (CC X. X))
27	25, 26	mpan2 695	. . . . 5 |- (F (_ (Z X. X) -> F (_ (CC X. X))
28	18, 27	syl 10	. . . 4 |- (F:Z-->X -> F (_ (CC X. X))
29	28	biantrurd 726	. . 3 |- (F:Z-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
30	17, 29	bitr2d 528	. 2 |- (F:Z-->X -> ((F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
31	4, 30	sylan9bb 539	1 |- ((D e. Met /\ F:Z-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644   (_ wss 2044   class class class wbr 2615   X. cxp 3164  dom cdm 3166  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217   <_ cle 5278  ZZcz 5281   < clt 5469  ZZ>cuz 6362  Metcme 7749  Caucca 7882

This theorem is referenced by:  causs 7917  iscms2lem3 7953  cncms 7960  bcthlem22 7982  hhcms 9027  hhsscms 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-2 5927  df-z 6093  df-uz 6363  df-met 7753  df-cau 7885

Copyright terms: Public domain