Theorem isblo3i 8457

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91.

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	|- X = (Base` U)
isblo3i.m	|- M = (norm` U)
isblo3i.n	|- N = (norm` W)
isblo3i.4	|- L = (U LnOp W)
isblo3i.5	|- B = (U BLnOp W)
isblo3i.u	|- U e. NrmCVec
isblo3i.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	|- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,L   x,M,y   x,N,y   x,T,y   x,U,y   x,W,y   x,X,y

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
4		isblo3i.5	. . . . 5 |- B = (U BLnOp W)
5	3, 4	bloln 8440	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. L)
6	1, 2, 5	mp3an12 908	. . 3 |- (T e. B -> T e. L)
7		opreq1 3974	. . . . . . 7 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (x x. (M` y)) = (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
8	7	breq2d 2635	. . . . . 6 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> ((N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
9	8	ralbidv 1666	. . . . 5 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
10	9	rcla4ev 1880	. . . 4 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))) -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
11		isblo3i.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
12		eqid 1478	. . . . . 6 |- (Base` W) = (Base` W)
13		eqid 1478	. . . . . 6 |- (UnormOpW) = (UnormOpW)
14	11, 12, 13, 4	nmblore 8442	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
15	1, 2, 14	mp3an12 908	. . . 4 |- (T e. B -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
16		isblo3i.m	. . . . . 6 |- M = (norm` U)
17		isblo3i.n	. . . . . 6 |- N = (norm` W)
18	11, 16, 17, 13, 4, 1, 2	nmblolbi 8456	. . . . 5 |- ((T e. B /\ y e. X) -> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
19	18	r19.21aiva 1717	. . . 4 |- (T e. B -> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
20	10, 15, 19	sylanc 473	. . 3 |- (T e. B -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
21	6, 20	jca 288	. 2 |- (T e. B -> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))
22		3simp1 790	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. L)
23	11, 12, 16, 17, 13, 1, 2	nmoub3i 8432	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) <_ (abs` x))
24		recnt 5325	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
25		absclt 6833	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CC -> (abs` x) e. RR)
26	24, 25	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR)
27		ltpnft 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) < +oo)
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (abs` x) < +oo)
29	28	3ad2ant2 803	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) < +oo)
30		xrlelttrt 5574	. . . . . . . . . 10 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR* /\ (abs` x) e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
31	11, 12, 13	nmoxr 8425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->(Base` W)) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
32	1, 2, 31	mp3an12 908	. . . . . . . . . . 11 |- (T:X-->(Base` W) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
33	32	3ad2ant1 802	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
34		rexrt 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) e. RR*)
35	26, 34	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR*)
36	35	3ad2ant2 803	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) e. RR*)
37		pnfxr 5505	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
38	37	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> +oo e. RR*)
39	30, 33, 36, 38	syl3anc 860	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
40	23, 29, 39	mp2and 705	. . . . . . . 8 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
41	11, 12, 3	lnof 8412	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
42	1, 2, 41	mp3an12 908	. . . . . . . 8 |- (T e. L -> T:X-->(Base` W))
43	40, 42	syl3an1 861	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
44	22, 43	jca 288	. . . . . 6 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo))
45	13, 3, 4	isblo 8438	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo)))
46	1, 2, 45	mp2an 699	. . . . . 6 |- (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo))
47	44, 46	sylibr 200	. . . . 5 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
48	47	3exp 834	. . . 4 |- (T e. L -> (x e. RR -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B)))
49	48	r19.23adv 1749	. . 3 |- (T e. L -> (E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B))
50	49	imp 350	. 2 |- ((T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
51	21, 50	impbi 157	1 |- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245   x. cmul 5251   <_ cle 5307   +oocpnf 5495  RR*cxr 5497   < clt 5498  abscabs 6751  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205   LnOp clno 8397  normOpcnmo 8398   BLnOp cblo 8399

This theorem is referenced by:  blo3i 8458  blocnilem 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-lno 8401  df-nmo 8402  df-blo 8403  df-0o 8404

Copyright terms: Public domain