Theorem ipcl 8361

Description: An inner product is a complex number.

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	|- X = (Base` U)
ipcl.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Proof of Theorem ipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		eqid 1478	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1478	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1478	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
5		ipcl.7	. . 3 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 8349	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
7		axmulcl 5285	. . . . 5 |- (((i^k) e. CC /\ (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC) -> ((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
8		elfznnt 6495	. . . . . . 7 |- (k e. (1...4) -> k e. NN)
9		nnnn0t 6108	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
10		axicn 5282	. . . . . . . 8 |- i e. CC
11		expclt 6582	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
12	10, 11	mpan 697	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
13	8, 9, 12	3syl 20	. . . . . 6 |- (k e. (1...4) -> (i^k) e. CC)
14	13	adantl 390	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (i^k) e. CC)
15	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 8352	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ (i^k) e. CC) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
16	15, 13	sylan2 453	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
17	7, 14, 16	sylanc 473	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> ((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
18	17	r19.21aiva 1717	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
19		1z 6161	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
20	19	eluz1 6423	. . . . 5 |- (4 e. (ZZ>` 1) <-> (4 e. ZZ /\ 1 <_ 4))
21		4nn 6004	. . . . . 6 |- 4 e. NN
22		nnzt 6155	. . . . . 6 |- (4 e. NN -> 4 e. ZZ)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
24		ax1cn 5281	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
25	24	subid 5403	. . . . . . 7 |- (1 - 1) = 0
26		4pos 5994	. . . . . . 7 |- 0 < 4
27	25, 26	eqbrtr 2639	. . . . . 6 |- (1 - 1) < 4
28		1nn 5936	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
29		nnlem1ltt 6188	. . . . . . 7 |- ((1 e. NN /\ 4 e. NN) -> (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4))
30	28, 21, 29	mp2an 699	. . . . . 6 |- (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4)
31	27, 30	mpbir 190	. . . . 5 |- 1 <_ 4
32	20, 23, 31	mpbir2an 732	. . . 4 |- 4 e. (ZZ>` 1)
33		fsumclt 7015	. . . 4 |- ((4 e. (ZZ>` 1) /\ A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC) -> sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
34	32, 33	mpan 697	. . 3 |- (A.k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
35		4re 5984	. . . . 5 |- 4 e. RR
36	35	recn 5326	. . . 4 |- 4 e. CC
37	35, 26	gt0ne0i 5629	. . . 4 |- 4 =/= 0
38		divclt 5724	. . . 4 |- ((sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
39	36, 37, 38	mp3an23 910	. . 3 |- (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
40	18, 34, 39	3syl 20	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (sum_k e. (1...4)((i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
41	6, 40	eqeltrd 1551	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   x. cmul 5251   - cmin 5304   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498  2c2 5963  4c4 5965  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  ^cexp 6569  sum_csu 6979  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  normcnm 8205  .icip 8345

This theorem is referenced by:  ipf 8362  ipipcj 8364  ip1ilem 8481  ip2i 8483  ipasslem1 8486  ipasslem2 8487  ipasslem4 8489  ipasslem5 8490  ipasslem6 8491  ipasslem8 8493  ipasslem9 8494  ipasslem10 8495  ipasslem11 8496  ipdi 8499  ip2dii 8500  ipassr 8502  ipsubdir 8504  ipsubdi 8505  pythi 8506  siilem1 8507  siilem2 8508  siii 8509  ipblnfi 8512  ip2eqi 8513  htthlem6 8621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sum 6980  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ip 8346

Copyright terms: Public domain