Theorem ipasslem8 8497

Description: Lemma for ipassi 8501. By ipasslem5 8494, F is 0 for all QQ; since it is continuous and QQ is dense in RR by qdensere2 7916, we conclude F is 0 for all RR.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem8.a	|- A e. X
ipasslem8.b	|- B e. X
ipasslem8.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	|- F:RR-->{0}

Distinct variable groups:   w,v,A   v,B,w   v,P,w   v,S,w

Proof of Theorem ipasslem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
2	1	remet 7910	. . 3 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
3		eqid 1475	. . . 4 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
4	3	cnmet 7904	. . 3 |- (abs o. - ) e. Met
5		ip1i.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6		ip1i.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
7		ip1i.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
8		ip1i.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
9		ip1i.9	. . . 4 |- U e. CPreHil
10		ipasslem8.a	. . . 4 |- A e. X
11		ipasslem8.b	. . . 4 |- B e. X
12		eqid 1475	. . . 4 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
13		eqid 1475	. . . 4 |- (Open` (abs o. - )) = (Open` (abs o. - ))
14		ipasslem8.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, 1, 12, 13, 14	ipasslem7 8496	. . 3 |- F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - )))
16	2, 4, 15	3pm3.2i 818	. 2 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (abs o. - ) e. Met /\ F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - ))))
17		0cn 5328	. . 3 |- 0 e. CC
18		qret 6259	. . . . . . 7 |- (x e. QQ -> x e. RR)
19		opreq1 3968	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (wSA) = (xSA))
20	19	opreq1d 3975	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> ((wSA)PB) = ((xSA)PB))
21		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w x. (APB)) = (x x. (APB)))
22	20, 21	opreq12d 3978	. . . . . . . 8 |- (w = x -> (((wSA)PB) - (w x. (APB))) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
23		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (((xSA)PB) - (x x. (APB))) e. V
24	22, 14, 23	fvopab4 3780	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (F` x) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
25	18, 24	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. QQ -> (F` x) = (((xSA)PB) - (x x. (APB))))
26	5, 6, 7, 8, 9, 11	ipasslem5 8494	. . . . . . . 8 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((xSA)PB) = (x x. (APB)))
27		subeq0t 5403	. . . . . . . . 9 |- ((((xSA)PB) e. CC /\ (x x. (APB)) e. CC) -> ((((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0 <-> ((xSA)PB) = (x x. (APB))))
28	9	phnvi 8475	. . . . . . . . . . . 12 |- U e. NrmCVec
29	5, 7	nvscl 8247	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
30	28, 29	mp3an1 903	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
31		qcnt 6267	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. QQ -> x e. CC)
32	30, 31	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
33	5, 8	ipcl 8365	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (xSA) e. X /\ B e. X) -> ((xSA)PB) e. CC)
34	28, 11, 33	mp3an13 907	. . . . . . . . . 10 |- ((xSA) e. X -> ((xSA)PB) e. CC)
35	32, 34	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((xSA)PB) e. CC)
36		axmulcl 5273	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ (APB) e. CC) -> (x x. (APB)) e. CC)
37	5, 8	ipcl 8365	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
38	28, 11, 37	mp3an13 907	. . . . . . . . . 10 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
39	36, 31, 38	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (x x. (APB)) e. CC)
40	27, 35, 39	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> ((((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0 <-> ((xSA)PB) = (x x. (APB))))
41	26, 40	mpbird 196	. . . . . . 7 |- ((x e. QQ /\ A e. X) -> (((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0)
42	10, 41	mpan2 696	. . . . . 6 |- (x e. QQ -> (((xSA)PB) - (x x. (APB))) = 0)
43	25, 42	eqtrd 1507	. . . . 5 |- (x e. QQ -> (F` x) = 0)
44	43	rgen 1698	. . . 4 |- A.x e. QQ (F` x) = 0
45		oprex 3983	. . . . . . 7 |- (((wSA)PB) - (w x. (APB))) e. V
46	45, 14	fnopab2 3618	. . . . . 6 |- F Fn RR
47		fnfun 3585	. . . . . 6 |- (F Fn RR -> Fun F)
48	46, 47	ax-mp 7	. . . . 5 |- Fun F
49		qssre 6264	. . . . . 6 |- QQ (_ RR
50	45, 14	dmopab2 3619	. . . . . 6 |- dom F = RR
51	49, 50	sseqtr4 2094	. . . . 5 |- QQ (_ dom F
52		funconstss 3808	. . . . 5 |- ((Fun F /\ QQ (_ dom F) -> (A.x e. QQ (F` x) = 0 <-> QQ (_ (`'F"{0})))
53	48, 51, 52	mp2an 697	. . . 4 |- (A.x e. QQ (F` x) = 0 <-> QQ (_ (`'F"{0}))
54	44, 53	mpbi 189	. . 3 |- QQ (_ (`'F"{0})
55	1, 12	qdensere2 7916	. . 3 |- ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR
56	17, 54, 55	3pm3.2i 818	. 2 |- (0 e. CC /\ QQ (_ (`'F"{0}) /\ ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR)
57	1	remetba 7909	. . 3 |- RR = dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
58	3	cnmetba 7903	. . 3 |- CC = dom dom (abs o. - )
59	57, 58, 12, 13	metdnsconst 7901	. 2 |- (((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (abs o. - ) e. Met /\ F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) Cn (Open` (abs o. - )))) /\ (0 e. CC /\ QQ (_ (`'F"{0}) /\ ((cls` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))` QQ) = RR)) -> F:RR-->{0})
60	16, 56, 59	mp2an 697	1 |- F:RR-->{0}

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  {csn 2409  {copab 2666   X. cxp 3168  `'ccnv 3169  dom cdm 3170   |` cres 3172  "cima 3173   o. ccom 3174  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   - cmin 5292  QQcq 5299  abscabs 6750  clsccl 7662   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  .icip 8349  CPreHilcphl 8471

This theorem is referenced by:  ipasslem9 8498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain