Theorem ipasslem7 8440

Description: Lemma for ipassi 8445. Show that ((wSA)PB) - (w x. (APB)) is continuous on RR.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem7.a	|- A e. X
ipasslem7.b	|- B e. X
ipasslem7.d	|- D = (abs o. - )
ipasslem7.c	|- C = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
ipasslem7.j	|- J = (Open` C)
ipasslem7.k	|- K = (Open` D)
ipasslem7.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}

Assertion

Ref	Expression
ipasslem7	|- F e. (J Cn K)

Distinct variable groups:   w,v,A   v,B,w   w,D   w,K   v,P,w   v,S,w

Proof of Theorem ipasslem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipasslem7.f	. . 3 |- F = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
2		axresscn 5248	. . . 4 |- RR (_ CC
3		resopab2 3390	. . . 4 |- (RR (_ CC -> ({<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} |` RR) = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))})
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- ({<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} |` RR) = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
5	1, 4	eqtr4 1495	. 2 |- F = ({<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} |` RR)
6		ipasslem7.c	. . . . 5 |- C = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
7	6	remet 7862	. . . 4 |- C e. Met
8		ipasslem7.d	. . . . 5 |- D = (abs o. - )
9	8	cnmet 7856	. . . 4 |- D e. Met
10	7, 9, 9	3pm3.2i 817	. . 3 |- (C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met)
11		resss 3375	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) (_ (abs o. - )
12	11, 6, 8	3sstr4 2096	. . . 4 |- C (_ D
13		ip1i.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
14		ip1i.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
15		ip1i.4	. . . . 5 |- S = (.s` U)
16		ip1i.7	. . . . 5 |- P = (.i` U)
17		ip1i.9	. . . . 5 |- U e. CPreHil
18		ipasslem7.a	. . . . 5 |- A e. X
19		ipasslem7.b	. . . . 5 |- B e. X
20		eqid 1473	. . . . 5 |- (IndMet` U) = (IndMet` U)
21		ipasslem7.k	. . . . 5 |- K = (Open` D)
22		eqid 1473	. . . . 5 |- {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
23	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 8, 20, 21, 22	ipasslem6 8439	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} e. (K Cn K)
24	12, 23	pm3.2i 285	. . 3 |- (C (_ D /\ {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} e. (K Cn K))
25	6	remetba 7861	. . . 4 |- RR = dom dom C
26		ipasslem7.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
27	25, 26, 21, 21	metcnss2 7851	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met) /\ (C (_ D /\ {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} e. (K Cn K))) -> ({<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} |` RR) e. (J Cn K))
28	10, 24, 27	mp2an 696	. 2 |- ({<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} |` RR) e. (J Cn K)
29	5, 28	eqeltr 1541	1 |- F e. (J Cn K)

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  {copab 2661   X. cxp 3163   |` cres 3167   o. ccom 3169  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213   x. cmul 5219   - cmin 5272  abscabs 6689   Cn ccn 7702  Metcme 7739  Opencopn 7742  +vcpv 8156  Basecba 8157  .scns 8158  IndMetcims 8162  .icip 8296  CPreHilcphl 8415

This theorem is referenced by:  ipasslem8 8441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416

Copyright terms: Public domain