Theorem ipasslem5 8425

Description: Lemma for ipassi 8432. Show the inner product associative law for rational numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem1.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	|- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 6195	. . 3 |- (C e. QQ <-> E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k))
2		opreq1 3953	. . . . . . . . 9 |- (C = (j / k) -> (CSA) = ((j / k)SA))
3	2	opreq1d 3960	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (((j / k)SA)PB))
4		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- (C = (j / k) -> (C x. (APB)) = ((j / k) x. (APB)))
5	3, 4	eqeq12d 1481	. . . . . . 7 |- (C = (j / k) -> (((CSA)PB) = (C x. (APB)) <-> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB))))
6		axmulass 5250	. . . . . . . . 9 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
7		zcnt 6087	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> j e. CC)
8		nnrecret 6215	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
9	8	recnd 5287	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
10		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil
11	10	phnvi 8406	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
12		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 |- B e. X
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = (Base` U)
14		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 |- P = (.i` U)
15	13, 14	ipcl 8299	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
16	11, 12, 15	mp3an13 904	. . . . . . . . 9 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
17	6, 7, 9, 16	syl3an 866	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k)) x. (APB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
18		divrect 5702	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. CC /\ k e. CC /\ k =/= 0) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
19	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> j e. CC)
20		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k e. CC)
21	20	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k e. CC)
22		nnne0t 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> k =/= 0)
23	22	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> k =/= 0)
24	18, 19, 21, 23	syl3anc 856	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
25	24	3adant3 797	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j / k) = (j x. (1 / k)))
26	25	opreq1d 3960	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k) x. (APB)) = ((j x. (1 / k)) x. (APB)))
27	25	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = ((j x. (1 / k))SA))
28		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = (.s` U)
29	13, 28	nvsass 8189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X)) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
30	11, 29	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. CC /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
31		id 59	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. X -> A e. X)
32	30, 7, 9, 31	syl3an 866	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j x. (1 / k))SA) = (jS((1 / k)SA)))
33	27, 32	eqtrd 1499	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((j / k)SA) = (jS((1 / k)SA)))
34	33	opreq1d 3960	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((jS((1 / k)SA))PB))
35		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (+v` U)
36	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem3 8423	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. ZZ /\ ((1 / k)SA) e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
37	13, 28	nvscl 8187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
38	11, 37	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / k) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
39	38, 9	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> ((1 / k)SA) e. X)
40	36, 39	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ (k e. NN /\ A e. X)) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
41	40	3impb 827	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> ((jS((1 / k)SA))PB) = (j x. (((1 / k)SA)PB)))
42	13, 35, 28, 14, 10, 12	ipasslem4 8424	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
43	42	3adant1 795	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((1 / k)SA)PB) = ((1 / k) x. (APB)))
44	43	opreq2d 3961	. . . . . . . . 9 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (j x. (((1 / k)SA)PB)) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
45	34, 41, 44	3eqtrd 1503	. . . . . . . 8 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = (j x. ((1 / k) x. (APB))))
46	17, 26, 45	3eqtr4rd 1510	. . . . . . 7 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (((j / k)SA)PB) = ((j / k) x. (APB)))
47	5, 46	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN /\ A e. X) -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
48	47	3expia 833	. . . . 5 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (A e. X -> (C = (j / k) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- ((j e. ZZ /\ k e. NN) -> (C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))))
50	49	r19.23aivv 1740	. . 3 |- (E.j e. ZZ E.k e. NN C = (j / k) -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
51	1, 50	sylbi 199	. 2 |- (C e. QQ -> (A e. X -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
52	51	imp 350	1 |- ((C e. QQ /\ A e. X) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270  QQcq 5271  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  .icip 8283  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  ipasslem8 8428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-sum 6918  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-ip 8284  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain