Theorem ipasslem4 8424

Description: Lemma for ipassi 8432. Show the inner product associative law for positive integer reciprocals.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem1.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem4	|- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidt 5698	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ N =/= 0) -> (N x. (1 / N)) = 1)
2		nncnt 5878	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N e. CC)
3		nnne0t 5897	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N =/= 0)
4	1, 2, 3	sylanc 471	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (N x. (1 / N)) = 1)
5	4	opreq1d 3960	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (1 x. (APB)))
6		ip1i.9	. . . . . . . 8 |- U e. CPreHil
7	6	phnvi 8406	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
8		ipasslem1.b	. . . . . . 7 |- B e. X
9		ip1i.1	. . . . . . . 8 |- X = (Base` U)
10		ip1i.7	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
11	9, 10	ipcl 8299	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
12	7, 8, 11	mp3an13 904	. . . . . 6 |- (A e. X -> (APB) e. CC)
13		mulid2t 5389	. . . . . 6 |- ((APB) e. CC -> (1 x. (APB)) = (APB))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- (A e. X -> (1 x. (APB)) = (APB))
15	5, 14	sylan9eq 1519	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (APB))
16	4	opreq1d 3960	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((N x. (1 / N))SA) = (1SA))
17		ip1i.4	. . . . . . . . 9 |- S = (.s` U)
18	9, 17	nvsid 8188	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
19	7, 18	mpan 693	. . . . . . 7 |- (A e. X -> (1SA) = A)
20	16, 19	sylan9eq 1519	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = A)
21	9, 17	nvsass 8189	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X)) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
22	7, 21	mpan 693	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
23	2	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N e. CC)
24		nnrecret 6215	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (1 / N) e. RR)
25	24	recnd 5287	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (1 / N) e. CC)
26	25	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (1 / N) e. CC)
27		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> A e. X)
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 856	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N))SA) = (NS((1 / N)SA)))
29	20, 28	eqtr3d 1501	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> A = (NS((1 / N)SA)))
30	29	opreq1d 3960	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (APB) = ((NS((1 / N)SA))PB))
31	15, 30	eqtr2d 1500	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = ((N x. (1 / N)) x. (APB)))
32		ip1i.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
33	9, 32, 17, 10, 6, 8	ipasslem1 8421	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ ((1 / N)SA) e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = (N x. (((1 / N)SA)PB)))
34		nnnn0t 6053	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
35	34	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N e. NN0)
36	9, 17	nvscl 8187	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
37	7, 36	mp3an1 900	. . . . 5 |- (((1 / N) e. CC /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
38	37, 25	sylan 448	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((1 / N)SA) e. X)
39	33, 35, 38	sylanc 471	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((NS((1 / N)SA))PB) = (N x. (((1 / N)SA)PB)))
40		axmulass 5250	. . . 4 |- ((N e. CC /\ (1 / N) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
41	12	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (APB) e. CC)
42	40, 23, 26, 41	syl3anc 856	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (1 / N)) x. (APB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
43	31, 39, 42	3eqtr3d 1507	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))))
44		mulcant 5661	. . 3 |- (((N e. CC /\ (((1 / N)SA)PB) e. CC /\ ((1 / N) x. (APB)) e. CC) /\ N =/= 0) -> ((N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))) <-> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB))))
45	9, 10	ipcl 8299	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ ((1 / N)SA) e. X /\ B e. X) -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
46	7, 8, 45	mp3an13 904	. . . . 5 |- (((1 / N)SA) e. X -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
47	38, 46	syl 10	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) e. CC)
48		axmulcl 5245	. . . . 5 |- (((1 / N) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((1 / N) x. (APB)) e. CC)
49	48, 25, 12	syl2an 454	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((1 / N) x. (APB)) e. CC)
50	23, 47, 49	3jca 817	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (N e. CC /\ (((1 / N)SA)PB) e. CC /\ ((1 / N) x. (APB)) e. CC))
51	3	adantr 389	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> N =/= 0)
52	44, 50, 51	sylanc 471	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> ((N x. (((1 / N)SA)PB)) = (N x. ((1 / N) x. (APB))) <-> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB))))
53	43, 52	mpbid 195	1 |- ((N e. NN /\ A e. X) -> (((1 / N)SA)PB) = ((1 / N) x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  NN0cn0 5269  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  .icip 8283  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  ipasslem5 8425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-sum 6918  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-ip 8284  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain