Theorem ip2i 8487

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ip2i.8	|- A e. X
ip2i.9	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ip2i	|- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 5970	. . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
2	1	opreq1i 3971	. . . . 5 |- (2SA) = ((1 + 1)SA)
3		ip1i.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil
4	3	phnvi 8475	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
5		ax1cn 5269	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
6		ip2i.8	. . . . . . 7 |- A e. X
7	5, 5, 6	3pm3.2i 818	. . . . . 6 |- (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)
8		ip1i.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
9		ip1i.2	. . . . . . 7 |- G = (+v` U)
10		ip1i.4	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
11	8, 9, 10	nvdir 8252	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
12	4, 7, 11	mp2an 697	. . . . 5 |- ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA))
13	8, 10	nvsid 8248	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
14	4, 6, 13	mp2an 697	. . . . . 6 |- (1SA) = A
15	14, 14	opreq12i 3973	. . . . 5 |- ((1SA)G(1SA)) = (AGA)
16	2, 12, 15	3eqtr 1499	. . . 4 |- (2SA) = (AGA)
17	16	opreq1i 3971	. . 3 |- ((2SA)PB) = ((AGA)PB)
18	8, 9	nvgcl 8239	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> (AGA) e. X)
19	4, 6, 6, 18	mp3an 916	. . . . 5 |- (AGA) e. X
20		ip2i.9	. . . . 5 |- B e. X
21		ip1i.7	. . . . . 6 |- P = (.i` U)
22	8, 21	ipcl 8365	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (AGA) e. X /\ B e. X) -> ((AGA)PB) e. CC)
23	4, 19, 20, 22	mp3an 916	. . . 4 |- ((AGA)PB) e. CC
24	23	addid1 5330	. . 3 |- (((AGA)PB) + 0) = ((AGA)PB)
25	17, 24	eqtr4 1498	. 2 |- ((2SA)PB) = (((AGA)PB) + 0)
26		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
27	8, 9, 10, 26	nvrinv 8273	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AG(-u1SA)) = (0v` U))
28	4, 6, 27	mp2an 697	. . . . 5 |- (AG(-u1SA)) = (0v` U)
29	28	opreq1i 3971	. . . 4 |- ((AG(-u1SA))PB) = ((0v` U)PB)
30	8, 26, 21	ip0l 8371	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((0v` U)PB) = 0)
31	4, 20, 30	mp2an 697	. . . 4 |- ((0v` U)PB) = 0
32	29, 31	eqtr 1495	. . 3 |- ((AG(-u1SA))PB) = 0
33	32	opreq2i 3972	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (((AGA)PB) + 0)
34	8, 9, 10, 21, 3, 6, 6, 20	ip1i 8486	. 2 |- (((AGA)PB) + ((AG(-u1SA))PB)) = (2 x. (APB))
35	25, 33, 34	3eqtr2 1501	1 |- ((2SA)PB) = (2 x. (APB))

Syntax hints:   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293  2c2 5961  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  .icip 8349  CPreHilcphl 8471

This theorem is referenced by:  ipdirilem 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ip 8350  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain