Theorem ip2eqi 8448

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	|- X = (Base` U)
ip2eqi.7	|- P = (.i` U)
ip2eqi.u	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	|- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,P   x,U   x,X

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 8406	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
4		eqid 1468	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
5	3, 4	nvmcl 8207	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
6	2, 5	mp3an1 900	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A(-v` U)B) e. X)
7		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPA) = ((A(-v` U)B)PA))
8		opreq1 3953	. . . . . 6 |- (x = (A(-v` U)B) -> (xPB) = ((A(-v` U)B)PB))
9	7, 8	eqeq12d 1481	. . . . 5 |- (x = (A(-v` U)B) -> ((xPA) = (xPB) <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
10	9	rcla4v 1864	. . . 4 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
11	6, 10	syl 10	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
12		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
13	3, 4, 12	ipsubdi 8440	. . . . . . . 8 |- ((U e. CPreHil /\ ((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
14	1, 13	mpan 693	. . . . . . 7 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
15		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
16		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
17	14, 6, 15, 16	syl3anc 856	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)))
18	17	eqeq1d 1475	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0))
19		eqid 1468	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
20	3, 19, 12	ipz 8306	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
21	2, 20	mpan 693	. . . . . 6 |- ((A(-v` U)B) e. X -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
22	6, 21	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)P(A(-v` U)B)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
23	18, 22	bitr3d 528	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> (A(-v` U)B) = (0v` U)))
24		subeq0t 5375	. . . . 5 |- ((((A(-v` U)B)PA) e. CC /\ ((A(-v` U)B)PB) e. CC) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
25	3, 12	ipcl 8299	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
26	2, 25	mp3an1 900	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ A e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
27	26, 6, 15	sylanc 471	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PA) e. CC)
28	3, 12	ipcl 8299	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
29	2, 28	mp3an1 900	. . . . . 6 |- (((A(-v` U)B) e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
30	29, 6, 16	sylanc 471	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B)PB) e. CC)
31	24, 27, 30	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((((A(-v` U)B)PA) - ((A(-v` U)B)PB)) = 0 <-> ((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB)))
32	3, 4, 19	nvmeq0 8224	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
33	2, 32	mp3an1 900	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X) -> ((A(-v` U)B) = (0v` U) <-> A = B))
34	23, 31, 33	3bitr3d 546	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (((A(-v` U)B)PA) = ((A(-v` U)B)PB) <-> A = B))
35	11, 34	sylibd 202	. 2 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) -> A = B))
36		opreq2 3954	. . . 4 |- (A = B -> (xPA) = (xPB))
37	36	a1d 12	. . 3 |- (A = B -> (x e. X -> (xPA) = (xPB)))
38	37	r19.21aiv 1705	. 2 |- (A = B -> A.x e. X (xPA) = (xPB))
39	35, 38	impbid1 515	1 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X (xPA) = (xPB) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   - cmin 5264  NrmCVeccnv 8141  Basecba 8143  0vcn0v 8145  -vcnsb 8146  .icip 8283  CPreHilcphl 8402

This theorem is referenced by:  phoeqi 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403

Copyright terms: Public domain