Theorem ip1cnilem3 8375

Description: Lemma for ip1cni 8379.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1cni.1	|- X = (Base` U)
ip1cni.2	|- G = (+v` U)
ip1cni.7	|- P = (.i` U)
ip1cni.8	|- C = (IndMet` U)
ip1cni.d	|- D = (abs o. - )
ip1cni.j	|- J = (Open` C)
ip1cni.k	|- K = (Open` D)
ip1cni.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
ip1cni.9	|- U e. NrmCVec
ip1cni.a	|- A e. X
ip1cnilem.4	|- S = (.s` U)
ip1cnilem.6	|- N = (norm` U)
ip1cnilem.14	|- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))}

Assertion

Ref	Expression
ip1cnilem3	|- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   t,k,u,v,w,A   u,C,w   u,D,w   k,G,t,u,v,w   v,H,w   k,J,u,w   k,K,u,w   k,N,t,u,v,w   S,k,t,u,v,w   U,k,t,u,v,w   k,X,t,u,v,w

Proof of Theorem ip1cnilem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1cni.9	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
2		ip1cni.1	. . . . . . . . . 10 |- X = (Base` U)
3		ip1cni.2	. . . . . . . . . 10 |- G = (+v` U)
4	2, 3	nvgcl 8239	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
5	1, 4	mp3an1 903	. . . . . . . 8 |- ((u e. X /\ ((i^k)SA) e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
6		nnnn0t 6106	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> k e. NN0)
7		axicn 5270	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
8		expclt 6581	. . . . . . . . . 10 |- ((i e. CC /\ k e. NN0) -> (i^k) e. CC)
9	7, 8	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (i^k) e. CC)
10		ip1cni.a	. . . . . . . . . 10 |- A e. X
11		ip1cnilem.4	. . . . . . . . . . 11 |- S = (.s` U)
12	2, 11	nvscl 8247	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (i^k) e. CC /\ A e. X) -> ((i^k)SA) e. X)
13	1, 10, 12	mp3an13 907	. . . . . . . . 9 |- ((i^k) e. CC -> ((i^k)SA) e. X)
14	6, 9, 13	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((i^k)SA) e. X)
15	5, 14	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((u e. X /\ k e. NN) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
16	15	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (uG((i^k)SA)) e. X)
17		ip1cnilem.6	. . . . . . . . 9 |- N = (norm` U)
18	2, 17	nvcl 8287	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (uG((i^k)SA)) e. X) -> (N` (uG((i^k)SA))) e. RR)
19	1, 18	mpan 695	. . . . . . 7 |- ((uG((i^k)SA)) e. X -> (N` (uG((i^k)SA))) e. RR)
20	19	recnd 5315	. . . . . 6 |- ((uG((i^k)SA)) e. X -> (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
21	16, 20	syl 10	. . . . 5 |- ((k e. NN /\ u e. X) -> (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
22	21	r19.21aiva 1714	. . . 4 |- (k e. NN -> A.u e. X (N` (uG((i^k)SA))) e. CC)
23		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}
24		fvex 3732	. . . . 5 |- (N` (uG((i^k)SA))) e. V
25	23, 24	rnssopab 3825	. . . 4 |- (A.u e. X (N` (uG((i^k)SA))) e. CC <-> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC)
26	22, 25	sylib 198	. . 3 |- (k e. NN -> ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC)
27		oprex 3983	. . . 4 |- (a^2) e. V
28		oprex 3983	. . . 4 |- ((N` (uG((i^k)SA)))^2) e. V
29		opreq1 3968	. . . 4 |- (a = (N` (uG((i^k)SA))) -> (a^2) = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))
30		eqid 1475	. . . 4 |- {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} = {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))}
31		ip1cnilem.14	. . . 4 |- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = ((N` (uG((i^k)SA)))^2))}
32	24, 27, 28, 29, 23, 30, 31	fopabco 3832	. . 3 |- (ran {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} (_ CC -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) = H)
33	26, 32	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) = H)
34		ip1cni.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
35		ip1cni.8	. . . 4 |- C = (IndMet` U)
36		ip1cni.d	. . . 4 |- D = (abs o. - )
37		ip1cni.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
38		ip1cni.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
39		ip1cni.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
40	2, 3, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 1, 10, 11, 17, 23	ip1cnilem2 8374	. . 3 |- (k e. NN -> {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K))
41	36, 38, 30	sqcn2 8336	. . . 4 |- {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K)
42	35	imsmet 8324	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
43	1, 42	ax-mp 7	. . . . . 6 |- C e. Met
44	36	cnmet 7904	. . . . . 6 |- D e. Met
45	43, 44, 44	3pm3.2i 818	. . . . 5 |- (C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met)
46	37, 38, 38	metcnco 7897	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ D e. Met) /\ ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) /\ {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K))) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
47	45, 46	mpan 695	. . . 4 |- (({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) /\ {<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} e. (K Cn K)) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
48	41, 47	mpan2 696	. . 3 |- ({<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))} e. (J Cn K) -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
49	40, 48	syl 10	. 2 |- (k e. NN -> ({<.a, b>. | (a e. CC /\ b = (a^2))} o. {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (N` (uG((i^k)SA))))}) e. (J Cn K))
50	33, 49	eqeltrrd 1549	1 |- (k e. NN -> H e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  {copab 2666  ran crn 3171   o. ccom 3174  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  ici 5236   - cmin 5292  NNcn 5296  NN0cn0 5297  2c2 5961  ^cexp 6568  abscabs 6750   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  normcnm 8209  IndMetcims 8210  .icip 8349

This theorem is referenced by:  ip1cnilem4 8376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul