Theorem ioossicc 6338

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	|- (A(,)B) (_ (A[,]B)

Proof of Theorem ioossicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 2282	. . . . . . . 8 |- (x e. (A(,)B) -> (A(,)B) =/= (/))
2		ndmioo 6315	. . . . . . . . 9 |- (-. (A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A(,)B) = (/))
3	2	necon1ai 1605	. . . . . . . 8 |- ((A(,)B) =/= (/) -> (A e. RR* /\ B e. RR*))
4	1, 3	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. (A(,)B) -> (A e. RR* /\ B e. RR*))
5		elioo2t 6324	. . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (x e. (A(,)B) <-> (x e. RR /\ A < x /\ x < B)))
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. (A(,)B) -> (x e. (A(,)B) <-> (x e. RR /\ A < x /\ x < B)))
7	6	ibi 591	. . . . 5 |- (x e. (A(,)B) -> (x e. RR /\ A < x /\ x < B))
8	7	3simp1d 793	. . . 4 |- (x e. (A(,)B) -> x e. RR)
9		rexrt 5479	. . . 4 |- (x e. RR -> x e. RR*)
10	8, 9	syl 10	. . 3 |- (x e. (A(,)B) -> x e. RR*)
11		xrltlet 5540	. . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ x e. RR*) -> (A < x -> A <_ x))
12	11	3adant2 797	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> (A < x -> A <_ x))
13		xrltlet 5540	. . . . . . 7 |- ((x e. RR* /\ B e. RR*) -> (x < B -> x <_ B))
14	13	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((B e. RR* /\ x e. RR*) -> (x < B -> x <_ B))
15	14	3adant1 796	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> (x < B -> x <_ B))
16	12, 15	anim12d 557	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) -> ((A < x /\ x < B) -> (A <_ x /\ x <_ B)))
17	4, 10	jca 288	. . . . 5 |- (x e. (A(,)B) -> ((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*))
18		df-3an 776	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*) <-> ((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ x e. RR*))
19	17, 18	sylibr 200	. . . 4 |- (x e. (A(,)B) -> (A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR*))
20		3simpc 786	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ A < x /\ x < B) -> (A < x /\ x < B))
21	7, 20	syl 10	. . . 4 |- (x e. (A(,)B) -> (A < x /\ x < B))
22	16, 19, 21	sylc 68	. . 3 |- (x e. (A(,)B) -> (A <_ x /\ x <_ B))
23		elicc1t 6329	. . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ B)))
24	4, 23	syl 10	. . . . 5 |- (x e. (A(,)B) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ B)))
25	24	biimprd 154	. . . 4 |- (x e. (A(,)B) -> ((x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ B) -> x e. (A[,]B)))
26		3anass 778	. . . 4 |- ((x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ B) <-> (x e. RR* /\ (A <_ x /\ x <_ B)))
27	25, 26	syl5ibr 207	. . 3 |- (x e. (A(,)B) -> ((x e. RR* /\ (A <_ x /\ x <_ B)) -> x e. (A[,]B)))
28	10, 22, 27	mp2and 702	. 2 |- (x e. (A(,)B) -> x e. (A[,]B))
29	28	ssriv 2065	1 |- (A(,)B) (_ (A[,]B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956   =/= wne 1582   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213   <_ cle 5275  RR*cxr 5465   < clt 5466  (,)cioo 6302  [,]cicc 6305

This theorem is referenced by:  isupivth 7233  dsupivthlem 7234  ivth2OLD 7242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-q 6202  df-ioo 6306  df-icc 6309

Copyright terms: Public domain