Theorem intss 2558

Description: Intersection of subclasses.

Assertion

Ref	Expression
intss	|- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Proof of Theorem intss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imim1 15	. . . . 5 |- ((y e. A -> y e. B) -> ((y e. B -> x e. y) -> (y e. A -> x e. y)))
2	1	19.20ii 997	. . . 4 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (A.y(y e. B -> x e. y) -> A.y(y e. A -> x e. y)))
3		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
4	3	elint 2543	. . . 4 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
5	3	elint 2543	. . . 4 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
6	2, 4, 5	3imtr4g 555	. . 3 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (x e. |^|B -> x e. |^|A))
7	6	19.21aiv 1288	. 2 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
8		dfss2 2061	. 2 |- (A (_ B <-> A.y(y e. A -> y e. B))
9		dfss2 2061	. 2 |- (|^|B (_ |^|A <-> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
10	7, 8, 9	3imtr4 219	1 |- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 956   e. wcel 960   (_ wss 2050  |^|cint 2537

This theorem is referenced by:  intabs 2738  rankval3 4691  rankr1id 4707  rankval4 4712  cfub 4920  cflim 4921  cflecard 4924  cfom 4928  clsss 7684  hsupss 9304  spanss 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-in 2054  df-ss 2056  df-int 2538

Copyright terms: Public domain