Theorem intasym 3438

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
intasym	|- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem intasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2231	. . . 4 |- (R i^i `'R) (_ `'R
2		relcnv 3435	. . . 4 |- Rel `'R
3		relss 3246	. . . 4 |- ((R i^i `'R) (_ `'R -> (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
5		ssrel 3247	. . 3 |- (Rel (R i^i `'R) -> ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I)))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
7		df-br 2620	. . . . . 6 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
8		visset 1813	. . . . . . . 8 |- x e. V
9		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
10	8, 9	brcnv 3299	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> yRx)
11		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
12	10, 11	bitr3 175	. . . . . 6 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
13	7, 12	anbi12i 482	. . . . 5 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
14		elin 2207	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
15	13, 14	bitr4 176	. . . 4 |- ((xRy /\ yRx) <-> <.x, y>. e. (R i^i `'R))
16	9	ideq 3277	. . . . 5 |- (xIy <-> x = y)
17		df-br 2620	. . . . 5 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
18	16, 17	bitr3 175	. . . 4 |- (x = y <-> <.x, y>. e. I)
19	15, 18	imbi12i 188	. . 3 |- (((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> (<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
20	19	2albii 1000	. 2 |- (A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) -> <.x, y>. e. I))
21	6, 20	bitr4 176	1 |- ((R i^i `'R) (_ I <-> A.xA.y((xRy /\ yRx) -> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  `'ccnv 3169  Rel wrel 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain