Theorem infxpidmlem10 7512

Description: Lemma for infxpidm 7515. A maximal bijection g in H is non-empty.

Hypotheses

Ref	Expression
infxpidmlem.1	|- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
infxpidmlem.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
infxpidmlem10	|- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))

Distinct variable groups:   f,g,h,t,A   g,H,h

Proof of Theorem infxpidmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psseq1 2131	. . . . . . 7 |- (g = (/) -> (g (. v <-> (/) (. v))
2		0pss 2304	. . . . . . 7 |- ((/) (. v <-> v =/= (/))
3	1, 2	syl6bb 535	. . . . . 6 |- (g = (/) -> (g (. v <-> v =/= (/)))
4	3	necon2bbid 1620	. . . . 5 |- (g = (/) -> (v = (/) <-> -. g (. v))
5		psseq2 2132	. . . . . . 7 |- (h = v -> (g (. h <-> g (. v))
6	5	negbid 610	. . . . . 6 |- (h = v -> (-. g (. h <-> -. g (. v))
7	6	rcla4cva 1872	. . . . 5 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> -. g (. v)
8	4, 7	syl5cbir 211	. . . 4 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (g = (/) -> v = (/)))
9	8	necon3d 1601	. . 3 |- ((A.h e. H -. g (. h /\ v e. H) -> (v =/= (/) -> g =/= (/)))
10	9	r19.23adva 1744	. 2 |- (A.h e. H -. g (. h -> (E.v e. H v =/= (/) -> g =/= (/)))
11		infxpidmlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- H = {f | (f = (/) \/ E.t((om ~<_ t /\ t (_ A) /\ f:(t X. t)-1-1-onto->t))}
12		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- v e. V
13		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
14	11, 12, 13	infxpidmlem3 7505	. . . . . . . . . 10 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> v e. H)
15	14	ex 373	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v e. H))
16		f1ofo 3686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v:(y X. y)-onto->y)
17		forn 3665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v:(y X. y)-onto->y -> ran v = y)
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> ran v = y)
19		rneq 3334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = (/) -> ran v = ran (/))
20		rn0 3349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran (/) = (/)
21	19, 20	syl6eq 1520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = (/) -> ran v = (/))
22	18, 21	sylan9req 1525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v:(y X. y)-1-1-onto->y /\ v = (/)) -> y = (/))
23	22	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v = (/) -> y = (/)))
24	23	necon3d 1601	. . . . . . . . . . 11 |- (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (y =/= (/) -> v =/= (/)))
25	13	infn0 4518	. . . . . . . . . . 11 |- (om ~<_ y -> y =/= (/))
26	24, 25	syl5com 52	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
27	26	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> v =/= (/)))
28	15, 27	jcad 599	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (v:(y X. y)-1-1-onto->y -> (v e. H /\ v =/= (/))))
29	28	19.22dv 1288	. . . . . . 7 |- ((om ~<_ y /\ y (_ A) -> (E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y -> E.v(v e. H /\ v =/= (/))))
30	29	imp 350	. . . . . 6 |- (((om ~<_ y /\ y (_ A) /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
31	30	an1rs 489	. . . . 5 |- (((om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y) /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
32		endom 4372	. . . . . 6 |- (om ~~ y -> om ~<_ y)
33		omex 4607	. . . . . . . . . . 11 |- om e. V
34	33, 13, 33, 13	xpen 4474	. . . . . . . . . 10 |- ((om ~~ y /\ om ~~ y) -> (om X. om) ~~ (y X. y))
35	34	anidms 434	. . . . . . . . 9 |- (om ~~ y -> (om X. om) ~~ (y X. y))
36		xpomen 7450	. . . . . . . . . 10 |- (om X. om) ~~ om
37	13, 13	xpex 3255	. . . . . . . . . . 11 |- (y X. y) e. V
38		enen1 4463	. . . . . . . . . . 11 |- (((y X. y) e. V /\ (om X. om) ~~ (y X. y)) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
39	37, 38	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> ((om X. om) ~~ om <-> (y X. y) ~~ om))
40	36, 39	mpbii 193	. . . . . . . . 9 |- ((om X. om) ~~ (y X. y) -> (y X. y) ~~ om)
41	35, 40	syl 10	. . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ om)
42		enen2 4464	. . . . . . . . 9 |- ((y e. V /\ om ~~ y) -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
43	13, 42	mpan 694	. . . . . . . 8 |- (om ~~ y -> ((y X. y) ~~ om <-> (y X. y) ~~ y))
44	41, 43	mpbid 195	. . . . . . 7 |- (om ~~ y -> (y X. y) ~~ y)
45	13	bren 4365	. . . . . . 7 |- ((y X. y) ~~ y <-> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
46	44, 45	sylib 198	. . . . . 6 |- (om ~~ y -> E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y)
47	32, 46	jca 288	. . . . 5 |- (om ~~ y -> (om ~<_ y /\ E.v v:(y X. y)-1-1-onto->y))
48	31, 47	sylan 448	. . . 4 |- ((om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
49	48	19.23aiv 1293	. . 3 |- (E.y(om ~~ y /\ y (_ A) -> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
50		infxpidmlem.2	. . . 4 |- A e. V
51	50	domen 4367	. . 3 |- (om ~<_ A <-> E.y(om ~~ y /\ y (_ A))
52		df-rex 1647	. . 3 |- (E.v e. H v =/= (/) <-> E.v(v e. H /\ v =/= (/)))
53	49, 51, 52	3imtr4 219	. 2 |- (om ~<_ A -> E.v e. H v =/= (/))
54	10, 53	syl5 21	1 |- (A.h e. H -. g (. h -> (om ~<_ A -> g =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   (. wpss 2044  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  omcom 3126   X. cxp 3163  ran crn 3166  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  infxpidmlem12 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain