Theorem infsdomnn 4511

Description: An infinite set strictly dominates a natural number.

Hypothesis

Ref	Expression
infsdomnn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	|- ((om ~<_ A /\ B e. om) -> B ~< A)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 4355	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 3198	. . 3 |- (om ~<_ A -> om e. V)
3		ensymg 4392	. . . . . . . 8 |- (om e. V -> (B ~~ om -> om ~~ B))
4	3	con3d 95	. . . . . . 7 |- (om e. V -> (-. om ~~ B -> -. B ~~ om))
5	4	anim2d 559	. . . . . 6 |- (om e. V -> ((B ~<_ om /\ -. om ~~ B) -> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om)))
6		omsdomnn 4509	. . . . . 6 |- (B e. om -> (B ~<_ om /\ -. om ~~ B))
7	5, 6	syl5 21	. . . . 5 |- (om e. V -> (B e. om -> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om)))
8		brsdom 4363	. . . . 5 |- (B ~< om <-> (B ~<_ om /\ -. B ~~ om))
9	7, 8	syl6ibr 213	. . . 4 |- (om e. V -> (B e. om -> B ~< om))
10		infsdomnn.1	. . . . . 6 |- A e. V
11		sdomdomtr 4449	. . . . . 6 |- (A e. V -> ((B ~< om /\ om ~<_ A) -> B ~< A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((B ~< om /\ om ~<_ A) -> B ~< A)
13	12	expcom 374	. . . 4 |- (om ~<_ A -> (B ~< om -> B ~< A))
14	9, 13	syl9 57	. . 3 |- (om e. V -> (om ~<_ A -> (B e. om -> B ~< A)))
15	2, 14	mpcom 49	. 2 |- (om ~<_ A -> (B e. om -> B ~< A))
16	15	imp 350	1 |- ((om ~<_ A /\ B e. om) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem is referenced by:  infn0 4512  infxpidmlem1 7495  infxpidmlem12 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain