Theorem infpn2 7460

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes S is unbounded by infpn 7459, so by unben 7456 it is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	|- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	|- S ~~ NN

Distinct variable group:   m,n

Proof of Theorem infpn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpn2.1	. . 3 |- S = {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))}
2		ssrab2 2127	. . 3 |- {n e. NN | (1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)))} (_ NN
3	1, 2	eqsstr 2087	. 2 |- S (_ NN
4		infpn 7459	. . . . 5 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
5		nnge1t 5899	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> 1 <_ j)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> 1 <_ j)
7		1re 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
8		lelttrt 5504	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. RR /\ j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
9	7, 8	mp3an1 901	. . . . . . . . . . 11 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
10		nnret 5885	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN -> j e. RR)
11		nnret 5885	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> k e. RR)
12	9, 10, 11	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((1 <_ j /\ j < k) -> 1 < k))
13	6, 12	mpand 700	. . . . . . . . 9 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> 1 < k))
14	13	ancld 298	. . . . . . . 8 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (j < k -> (j < k /\ 1 < k)))
15	14	anim1d 559	. . . . . . 7 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> ((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
16		anass 439	. . . . . . 7 |- (((j < k /\ 1 < k) /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
17	15, 16	syl6ib 212	. . . . . 6 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ((j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
18	17	r19.22dva 1736	. . . . 5 |- (j e. NN -> (E.k e. NN (j < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
19	4, 18	mpd 26	. . . 4 |- (j e. NN -> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
20		breq2 2618	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (1 < n <-> 1 < k))
21		opreq1 3959	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (n / m) = (k / m))
22	21	eleq1d 1537	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((n / m) e. NN <-> (k / m) e. NN))
23		eqeq2 1481	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = k -> (m = n <-> m = k))
24	23	orbi2d 613	. . . . . . . . . . 11 |- (n = k -> ((m = 1 \/ m = n) <-> (m = 1 \/ m = k)))
25	22, 24	imbi12d 625	. . . . . . . . . 10 |- (n = k -> (((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
26	25	ralbidv 1660	. . . . . . . . 9 |- (n = k -> (A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n)) <-> A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))
27	20, 26	anbi12d 627	. . . . . . . 8 |- (n = k -> ((1 < n /\ A.m e. NN ((n / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = n))) <-> (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
28	27, 1	elrab2 1903	. . . . . . 7 |- (k e. S <-> (k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
29	28	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((k e. S /\ j < k) <-> ((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k))
30		anass 439	. . . . . 6 |- (((k e. NN /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))) /\ j < k) <-> (k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)))
31		ancom 435	. . . . . . 7 |- (((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k) <-> (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
32	31	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ ((1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))) /\ j < k)) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
33	29, 30, 32	3bitr 177	. . . . 5 |- ((k e. S /\ j < k) <-> (k e. NN /\ (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k))))))
34	33	rexbii2 1669	. . . 4 |- (E.k e. S j < k <-> E.k e. NN (j < k /\ (1 < k /\ A.m e. NN ((k / m) e. NN -> (m = 1 \/ m = k)))))
35	19, 34	sylibr 200	. . 3 |- (j e. NN -> E.k e. S j < k)
36	35	rgen 1695	. 2 |- A.j e. NN E.k e. S j < k
37		unben 7456	. 2 |- ((S (_ NN /\ A.j e. NN E.k e. S j < k) -> S ~~ NN)
38	3, 36, 37	mp2an 696	1 |- S ~~ NN

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954   ~~ cen 4354  RRcr 5213  1c1 5215   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-uz 6358  df-fac 6877

Copyright terms: Public domain