Theorem infmrcl 6026

Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals.

Assertion

Ref	Expression
infmrcl	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem infmrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmsup 6025	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ))
2		ssrab2 2128	. . . . 5 |- {v e. RR | -uv e. A} (_ RR
3		suprcl 6012	. . . . 5 |- (({v e. RR | -uv e. A} (_ RR /\ {v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
4	2, 3	mp3an1 902	. . . 4 |- (({v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
5		ssel 2060	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
6		renegclt 5420	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> -uz e. RR)
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -uz e. RR))
8		ssel2 2061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
9		recnt 5296	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. RR -> z e. CC)
10		negnegt 5376	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CC -> -u-uz = z)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz = z)
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. A)
13	11, 12	eqeltrd 1546	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz e. A)
14	13	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -u-uz e. A))
15	7, 14	jcad 599	. . . . . . . . 9 |- (A (_ RR -> (z e. A -> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A)))
16		negeq 5342	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = -uz -> -uv = -u-uz)
17	16	eleq1d 1538	. . . . . . . . . . 11 |- (v = -uz -> (-uv e. A <-> -u-uz e. A))
18	17	elrab 1902	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A))
19		ne0i 2283	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
20	18, 19	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- ((-uz e. RR /\ -u-uz e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
21	15, 20	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
22	21	19.23adv 1213	. . . . . . 7 |- (A (_ RR -> (E.z z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
23	22	imp 350	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ E.z z e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
24		ne0 2285	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
25	23, 24	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
26	25	3adant3 798	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
27		breq2 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uw -> (x <_ y <-> x <_ -uw))
28	27	rcla4va 1872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uw e. A /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
29	28	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. RR /\ -uw e. A) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
30	29	adantll 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
31		lenegcon2t 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
32	31	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
33	32	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
34	30, 33	mpbid 195	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> w <_ -ux)
35	34	exp31 376	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((w e. RR /\ -uw e. A) -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
36		negeq 5342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> -uv = -uw)
37	36	eleq1d 1538	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> (-uv e. A <-> -uw e. A))
38	37	elrab 1902	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (w e. RR /\ -uw e. A))
39	35, 38	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
40	39	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> w <_ -ux)))
41	40	r19.21adv 1716	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
42		renegclt 5420	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
43	41, 42	jctild 600	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux)))
44		breq2 2619	. . . . . . . . 9 |- (z = -ux -> (w <_ z <-> w <_ -ux))
45	44	ralbidv 1661	. . . . . . . 8 |- (z = -ux -> (A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z <-> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
46	45	rcla4ev 1874	. . . . . . 7 |- ((-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
47	43, 46	syl6 22	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z))
48	47	r19.23aiv 1741	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
49	48	3ad2ant3 801	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
50	4, 26, 49	sylanc 471	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
51		renegclt 5420	. . 3 |- (sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
52	50, 51	syl 10	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
53	1, 52	eqeltrd 1546	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979   =/= wne 1583  A.wral 1643  E.wrex 1644  {crab 1646   (_ wss 2044  (/)c0 2277   class class class wbr 2615  `'ccnv 3165  supcsup 4556  CCcc 5215  RRcr 5216  -ucneg 5276   <_ cle 5278   < clt 5469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474

Copyright terms: Public domain