Theorem infmap2lem1 7579

Description: Lemma for infmap2 7581. Technical result that is used several times.

Hypotheses

Ref	Expression
infmap2lem.1	|- A e. V
infmap2lem.2	|- B e. V
infmap2lem.3	|- R = {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}

Assertion

Ref	Expression
infmap2lem1	|- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)} -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))

Distinct variable groups:   x,z,w,v,f,A   x,B,z,w,f,v   v,R,f

Proof of Theorem infmap2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . 6 |- (f (_ R -> (<.v, (f` v)>. e. f -> <.v, (f` v)>. e. R))
2		infmap2lem.3	. . . . . . . . 9 |- R = {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
3	2	eleq2i 1538	. . . . . . . 8 |- (<.v, (f` v)>. e. R <-> <.v, (f` v)>. e. {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)})
4		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- v e. V
5		fvex 3732	. . . . . . . . 9 |- (f` v) e. V
6		sseq1 2082	. . . . . . . . . . 11 |- (z = v -> (z (_ A <-> v (_ A))
7		breq1 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (z = v -> (z ~~ B <-> v ~~ B))
8	6, 7	anbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- (z = v -> ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (v (_ A /\ v ~~ B)))
9		foeq3 3670	. . . . . . . . . 10 |- (z = v -> (w:B-onto->z <-> w:B-onto->v))
10	8, 9	anbi12d 628	. . . . . . . . 9 |- (z = v -> (((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ w:B-onto->v)))
11		foeq1 3668	. . . . . . . . . 10 |- (w = (f` v) -> (w:B-onto->v <-> (f` v):B-onto->v))
12	11	anbi2d 616	. . . . . . . . 9 |- (w = (f` v) -> (((v (_ A /\ v ~~ B) /\ w:B-onto->v) <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v)))
13	4, 5, 10, 12	opelopab 2820	. . . . . . . 8 |- (<.v, (f` v)>. e. {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v))
14	3, 13	bitr 173	. . . . . . 7 |- (<.v, (f` v)>. e. R <-> ((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v))
15		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((v (_ A /\ v ~~ B) -> v (_ A)
16	15	anim1i 334	. . . . . . 7 |- (((v (_ A /\ v ~~ B) /\ (f` v):B-onto->v) -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v))
17	14, 16	sylbi 199	. . . . . 6 |- (<.v, (f` v)>. e. R -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v))
18	1, 17	syl6 22	. . . . 5 |- (f (_ R -> (<.v, (f` v)>. e. f -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
19		fnopfv 3811	. . . . 5 |- ((f Fn dom R /\ v e. dom R) -> <.v, (f` v)>. e. f)
20	18, 19	syl5 21	. . . 4 |- (f (_ R -> ((f Fn dom R /\ v e. dom R) -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
21	20	exp3a 375	. . 3 |- (f (_ R -> (f Fn dom R -> (v e. dom R -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v))))
22	21	imp 350	. 2 |- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. dom R -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))
23	2	dmeqi 3312	. . . . 5 |- dom R = dom {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
24		dmopab 3320	. . . . 5 |- dom {<.z, w>. | ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} = {z | E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)}
25		anass 439	. . . . . . 7 |- (((z (_ A /\ z ~~ B) /\ E.w w:B-onto->z) <-> (z (_ A /\ (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z)))
26		19.42v 1308	. . . . . . 7 |- (E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> ((z (_ A /\ z ~~ B) /\ E.w w:B-onto->z))
27		infmap2lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
28	27	ensym 4412	. . . . . . . . . 10 |- (z ~~ B -> B ~~ z)
29		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
30	29	bren 4377	. . . . . . . . . . 11 |- (B ~~ z <-> E.w w:B-1-1-onto->z)
31		f1ofo 3695	. . . . . . . . . . . 12 |- (w:B-1-1-onto->z -> w:B-onto->z)
32	31	19.22i 1040	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w w:B-1-1-onto->z -> E.w w:B-onto->z)
33	30, 32	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- (B ~~ z -> E.w w:B-onto->z)
34	28, 33	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (z ~~ B -> E.w w:B-onto->z)
35	34	pm4.71i 637	. . . . . . . 8 |- (z ~~ B <-> (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z))
36	35	anbi2i 480	. . . . . . 7 |- ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (z (_ A /\ (z ~~ B /\ E.w w:B-onto->z)))
37	25, 26, 36	3bitr4 183	. . . . . 6 |- (E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z) <-> (z (_ A /\ z ~~ B))
38	37	abbii 1575	. . . . 5 |- {z | E.w((z (_ A /\ z ~~ B) /\ w:B-onto->z)} = {z | (z (_ A /\ z ~~ B)}
39	23, 24, 38	3eqtr 1499	. . . 4 |- dom R = {z | (z (_ A /\ z ~~ B)}
40		sseq1 2082	. . . . . 6 |- (z = x -> (z (_ A <-> x (_ A))
41		breq1 2622	. . . . . 6 |- (z = x -> (z ~~ B <-> x ~~ B))
42	40, 41	anbi12d 628	. . . . 5 |- (z = x -> ((z (_ A /\ z ~~ B) <-> (x (_ A /\ x ~~ B)))
43	42	cbvabv 1909	. . . 4 |- {z | (z (_ A /\ z ~~ B)} = {x | (x (_ A /\ x ~~ B)}
44	39, 43	eqtr 1495	. . 3 |- dom R = {x | (x (_ A /\ x ~~ B)}
45	44	eleq2i 1538	. 2 |- (v e. dom R <-> v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)})
46	22, 45	syl5ibr 207	1 |- ((f (_ R /\ f Fn dom R) -> (v e. {x | (x (_ A /\ x ~~ B)} -> (v (_ A /\ (f` v):B-onto->v)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  dom cdm 3170   Fn wfn 3177  -onto->wfo 3180  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  infmap2lem2 7580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368

Copyright terms: Public domain