Theorem infcvglem2 7222

Description: Lemma for infcvg 7224. Show that G converges to the infimum.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5c	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.9	|- G e. V
infcvg.10	|- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
infcvg.11	|- H e. V
infcvg.12	|- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))

Assertion

Ref	Expression
infcvglem2	|- G ~~> S

Distinct variable groups:   x,A   x,y   k,G   k,H   z,w,R   S,k   x,k,y,X   x,Z,y

Proof of Theorem infcvglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.11	. . . . . 6 |- H e. V
2	1	reccnv 7218	. . . . 5 |- (A.k e. NN (H` k) = (1 / k) -> H ~~> 0)
3		infcvg.12	. . . . 5 |- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))
4	2, 3	mprg 1700	. . . 4 |- H ~~> 0
5		infcvg.5c	. . . . . 6 |- S = -usup(R, RR, < )
6		infcvg.1	. . . . . . . . 9 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
7		infcvg.2	. . . . . . . . 9 |- (y e. X -> A e. RR)
8		infcvg.3	. . . . . . . . 9 |- Z e. X
9		infcvg.4	. . . . . . . . 9 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
10	6, 7, 8, 9	infcvgaux1 7219	. . . . . . . 8 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)
11	10	suprcli 6061	. . . . . . 7 |- sup(R, RR, < ) e. RR
12	11	renegcl 5416	. . . . . 6 |- -usup(R, RR, < ) e. RR
13	5, 12	eqeltr 1544	. . . . 5 |- S e. RR
14	13	recn 5314	. . . 4 |- S e. CC
15	4, 14	pm3.2i 285	. . 3 |- (H ~~> 0 /\ S e. CC)
16		1z 6159	. . . 4 |- 1 e. ZZ
17		elnnuz 6440	. . . . . 6 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
18		nnrecret 5952	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
19	18	recnd 5315	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
20	3, 19	eqeltrd 1548	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (H` k) e. CC)
21		infcvg.10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
22	3	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (S + (H` k)) = (S + (1 / k)))
23	21, 22	eqtr4d 1510	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (H` k)))
24	20, 23	jca 288	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
25	17, 24	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
26	25	rgen 1698	. . . 4 |- A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k)))
27	16, 26	pm3.2i 285	. . 3 |- (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
28		infcvg.9	. . . 4 |- G e. V
29		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
30	29	elisseti 1818	. . . 4 |- 0 e. V
31	13	elisseti 1818	. . . 4 |- S e. V
32	1, 28, 30, 31	climaddc2 7119	. . 3 |- (((H ~~> 0 /\ S e. CC) /\ (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))) -> G ~~> (S + 0))
33	15, 27, 32	mp2an 697	. 2 |- G ~~> (S + 0)
34	14	addid1 5330	. 2 |- (S + 0) = S
35	33, 34	breqtr 2638	1 |- G ~~> S

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  infcvglem3 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain