Theorem infcvgaux1 7219

Description: Auxilliary theorem for applications of infcvg 7224. Hypothesis for several supremum theorems.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1	|- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)

Distinct variable groups:   x,A   x,y   z,w,R   x,X,y   x,Z,y

Proof of Theorem infcvgaux1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
2		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = -uA -> (x e. RR <-> -uA e. RR))
3		infcvg.2	. . . . . . 7 |- (y e. X -> A e. RR)
4		renegclt 5437	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. X -> -uA e. RR)
6	2, 5	syl5cbir 211	. . . . 5 |- (y e. X -> (x = -uA -> x e. RR))
7	6	r19.23aiv 1743	. . . 4 |- (E.y e. X x = -uA -> x e. RR)
8	7	abssi 2122	. . 3 |- {x | E.y e. X x = -uA} (_ RR
9	1, 8	eqsstr 2091	. 2 |- R (_ RR
10		infcvg.3	. . . . . 6 |- Z e. X
11		eqid 1475	. . . . . 6 |- -u[_Z / y]_A = -u[_Z / y]_A
12	11	hbth 1001	. . . . . . 7 |- (-u[_Z / y]_A = -u[_Z / y]_A -> A.y-u[_Z / y]_A = -u[_Z / y]_A)
13		csbeq1a 2006	. . . . . . . . 9 |- (y = Z -> A = [_Z / y]_A)
14	13	negeqd 5361	. . . . . . . 8 |- (y = Z -> -uA = -u[_Z / y]_A)
15	14	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (y = Z -> (-u[_Z / y]_A = -uA <-> -u[_Z / y]_A = -u[_Z / y]_A))
16	12, 15	rcla4e 1872	. . . . . 6 |- ((Z e. X /\ -u[_Z / y]_A = -u[_Z / y]_A) -> E.y e. X -u[_Z / y]_A = -uA)
17	10, 11, 16	mp2an 697	. . . . 5 |- E.y e. X -u[_Z / y]_A = -uA
18		negex 5365	. . . . . 6 |- -u[_Z / y]_A e. V
19		ax-17 971	. . . . . . . 8 |- (u e. x -> A.y u e. x)
20	10	elisseti 1818	. . . . . . . . . 10 |- Z e. V
21		ax-17 971	. . . . . . . . . 10 |- (u e. Z -> A.y u e. Z)
22	20, 21	hbcsb1 2025	. . . . . . . . 9 |- (u e. [_Z / y]_A -> A.y u e. [_Z / y]_A)
23	22	hbneg 5362	. . . . . . . 8 |- (u e. -u[_Z / y]_A -> A.y u e. -u[_Z / y]_A)
24	19, 23	hbeq 1565	. . . . . . 7 |- (x = -u[_Z / y]_A -> A.y x = -u[_Z / y]_A)
25		eqeq1 1481	. . . . . . 7 |- (x = -u[_Z / y]_A -> (x = -uA <-> -u[_Z / y]_A = -uA))
26	24, 25	rexbid 1662	. . . . . 6 |- (x = -u[_Z / y]_A -> (E.y e. X x = -uA <-> E.y e. X -u[_Z / y]_A = -uA))
27	18, 26	elab 1897	. . . . 5 |- (-u[_Z / y]_A e. {x | E.y e. X x = -uA} <-> E.y e. X -u[_Z / y]_A = -uA)
28	17, 27	mpbir 190	. . . 4 |- -u[_Z / y]_A e. {x | E.y e. X x = -uA}
29	28, 1	eleqtrr 1547	. . 3 |- -u[_Z / y]_A e. R
30		ne0i 2286	. . 3 |- (-u[_Z / y]_A e. R -> R =/= (/))
31	29, 30	ax-mp 7	. 2 |- R =/= (/)
32		infcvg.4	. 2 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
33	9, 31, 32	3pm3.2i 818	1 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  [_csb 2001   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  RRcr 5233  -ucneg 5293   <_ cle 5295

This theorem is referenced by:  infcvgaux2 7220  infcvglem1 7221  infcvglem2 7222  infcvglem3 7223  minveclem11 8555  minveclem14 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain