Theorem infcvg 7224

Description: Extract a sequence that converges to the infimum S of a set of reals A(y). The sequence F is built using values of a sequence f that converges when its values are mapped to reals via A(y). Equation 4 of [Kreyszig] p. 144.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.6	|- F e. V
infcvg.7	|- (y = (f` k) -> A = B)
infcvg.8	|- (k e. NN -> (F` k) = B)

Assertion

Ref	Expression
infcvg	|- E.f(f:NN-->X /\ F ~~> S)

Distinct variable groups:   x,f,A   x,y,B   k,F   z,w,R   f,k,S,y   f,X   x,k,y,X   x,Z,y   y,S

Proof of Theorem infcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. 2 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
2		infcvg.2	. 2 |- (y e. X -> A e. RR)
3		infcvg.3	. 2 |- Z e. X
4		infcvg.4	. 2 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
5		infcvg.5	. 2 |- S = -usup(R, RR, < )
6		nnex 5933	. . 3 |- NN e. V
7	6	opabex2 3610	. 2 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (S + (1 / j)))} e. V
8		opreq2 3969	. . . 4 |- (j = k -> (1 / j) = (1 / k))
9	8	opreq2d 3976	. . 3 |- (j = k -> (S + (1 / j)) = (S + (1 / k)))
10		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (S + (1 / j)))} = {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (S + (1 / j)))}
11		oprex 3983	. . 3 |- (S + (1 / k)) e. V
12	9, 10, 11	fvopab4 3780	. 2 |- (k e. NN -> ({<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (S + (1 / j)))}` k) = (S + (1 / k)))
13	6	opabex2 3610	. 2 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (1 / j))} e. V
14		eqid 1475	. . 3 |- {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (1 / j))} = {<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (1 / j))}
15		oprex 3983	. . 3 |- (1 / k) e. V
16	8, 14, 15	fvopab4 3780	. 2 |- (k e. NN -> ({<.j, v>. | (j e. NN /\ v = (1 / j))}` k) = (1 / k))
17		infcvg.6	. 2 |- F e. V
18		infcvg.7	. 2 |- (y = (f` k) -> A = B)
19		infcvg.8	. 2 |- (k e. NN -> (F` k) = B)
20	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 13, 16, 17, 18, 19	infcvglem3 7223	1 |- E.f(f:NN-->X /\ F ~~> S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  minvecex 8578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain