Theorem infcdaabs 7509

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infcdaabs	|- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)

Proof of Theorem infcdaabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 4402	. . . . 5 |- (((A +c B) ~<_ (A X. A) /\ (A X. A) ~~ A) -> (A +c B) ~<_ A)
2		domtr 4396	. . . . . 6 |- (((A +c B) ~<_ (A X. 2o) /\ (A X. 2o) ~<_ (A X. A)) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
3		infunabs.2	. . . . . . . 8 |- B e. V
4		infunabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
5	3, 4, 4	cdadom2 4906	. . . . . . 7 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A +c A))
6	4	xp2cda 4900	. . . . . . 7 |- (A X. 2o) = (A +c A)
7	5, 6	syl6breqr 2645	. . . . . 6 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A X. 2o))
8		2onn 4238	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
9		omsdomnn 4509	. . . . . . . . . 10 |- (2o e. om -> (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o)
11	10	pm3.26i 320	. . . . . . . 8 |- 2o ~<_ om
12		domtr 4396	. . . . . . . 8 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ A) -> 2o ~<_ A)
13	11, 12	mpan 693	. . . . . . 7 |- (om ~<_ A -> 2o ~<_ A)
14	4, 4	xpdom2 4422	. . . . . . 7 |- (2o ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
15	13, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
16	2, 7, 15	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
17	4	infxpidm 7507	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> (A X. A) ~~ A)
18	17	adantl 388	. . . . 5 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A X. A) ~~ A)
19	1, 16, 18	sylanc 471	. . . 4 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ A)
20	4, 3	cdadom3 4907	. . . 4 |- A ~<_ (A +c B)
21	19, 20	jctir 293	. . 3 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> ((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)))
22		sbth 4437	. . 3 |- (((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)) -> (A +c B) ~~ A)
23	21, 22	syl 10	. 2 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
24	23	ancoms 436	1 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  omcom 3121   X. cxp 3158  (class class class)co 3948  2oc2o 4113   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   +c ccda 4889

This theorem is referenced by:  infcda 7510  infdif 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788  df-cda 4890  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain