HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem imret 6718
Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function.
Assertion
Ref Expression
imret |- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-ui x. A)))
Proof of Theorem imret
StepHypRef Expression
1 replimtOLD 6701 . . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
21opreq2d 3967 . . . 4 |- (A e. CC -> (-ui x. A) = (-ui x. ((Re` A) + ((Im` A) x. i))))
3 axicn 5250 . . . . . . 7 |- i e. CC
43negcl 5349 . . . . . 6 |- -ui e. CC
5 axdistr 5259 . . . . . 6 |- ((-ui e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ ((Im` A) x. i) e. CC) -> (-ui x. ((Re` A) + ((Im` A) x. i))) = ((-ui x. (Re` A)) + (-ui x. ((Im` A) x. i))))
64, 5mp3an1 901 . . . . 5 |- (((Re` A) e. CC /\ ((Im` A) x. i) e. CC) -> (-ui x. ((Re` A) + ((Im` A) x. i))) = ((-ui x. (Re` A)) + (-ui x. ((Im` A) x. i))))
7 reclt 6696 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
87recnd 5295 . . . . 5 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
9 imclt 6697 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
109recnd 5295 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
11 axmulcl 5253 . . . . . . 7 |- (((Im` A) e. CC /\ i e. CC) -> ((Im` A) x. i) e. CC)
123, 11mpan2 695 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. i) e. CC)
1310, 12syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. i) e. CC)
146, 8, 13sylanc 471 . . . 4 |- (A e. CC -> (-ui x. ((Re` A) + ((Im` A) x. i))) = ((-ui x. (Re` A)) + (-ui x. ((Im` A) x. i))))
15 axmulcom 5256 . . . . . . . . 9 |- ((-ui e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (-ui x. (Re` A)) = ((Re` A) x. -ui))
164, 15mpan 694 . . . . . . . 8 |- ((Re` A) e. CC -> (-ui x. (Re` A)) = ((Re` A) x. -ui))
178, 16syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (-ui x. (Re` A)) = ((Re` A) x. -ui))
18 mulneg12t 5433 . . . . . . . . 9 |- (((Re` A) e. CC /\ i e. CC) -> (-u(Re` A) x. i) = ((Re` A) x. -ui))
193, 18mpan2 695 . . . . . . . 8 |- ((Re` A) e. CC -> (-u(Re` A) x. i) = ((Re` A) x. -ui))
208, 19syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (-u(Re` A) x. i) = ((Re` A) x. -ui))
2117, 20eqtr4d 1507 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (-ui x. (Re` A)) = (-u(Re` A) x. i))
22 mul12t 5398 . . . . . . . . 9 |- ((-ui e. CC /\ (Im` A) e. CC /\ i e. CC) -> (-ui x. ((Im` A) x. i)) = ((Im` A) x. (-ui x. i)))
234, 3, 22mp3an13 905 . . . . . . . 8 |- ((Im` A) e. CC -> (-ui x. ((Im` A) x. i)) = ((Im` A) x. (-ui x. i)))
2410, 23syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (-ui x. ((Im` A) x. i)) = ((Im` A) x. (-ui x. i)))
25 ax1id 5262 . . . . . . . . 9 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. 1) = (Im` A))
2610, 25syl 10 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. 1) = (Im` A))
273, 3mulneg1 5425 . . . . . . . . . 10 |- (-ui x. i) = -u(i x. i)
28 ixi 5662 . . . . . . . . . . 11 |- (i x. i) = -u1
2928negeqi 5340 . . . . . . . . . 10 |- -u(i x. i) = -u-u1
30 ax1cn 5249 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
3130negneg 5370 . . . . . . . . . 10 |- -u-u1 = 1
3227, 29, 313eqtr 1496 . . . . . . . . 9 |- (-ui x. i) = 1
3332opreq2i 3963 . . . . . . . 8 |- ((Im` A) x. (-ui x. i)) = ((Im` A) x. 1)
3426, 33syl5eq 1516 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (-ui x. i)) = (Im` A))
3524, 34eqtrd 1504 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (-ui x. ((Im` A) x. i)) = (Im` A))
3621, 35opreq12d 3969 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((-ui x. (Re` A)) + (-ui x. ((Im` A) x. i))) = ((-u(Re` A) x. i) + (Im` A)))
37 axaddcom 5255 . . . . . 6 |- (((-u(Re` A) x. i) e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((-u(Re` A) x. i) + (Im` A)) = ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i)))
38 renegclt 5417 . . . . . . . . 9 |- ((Re` A) e. RR -> -u(Re` A) e. RR)
397, 38syl 10 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> -u(Re` A) e. RR)
4039recnd 5295 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(Re` A) e. CC)
41 axmulcl 5253 . . . . . . . 8 |- ((-u(Re` A) e. CC /\ i e. CC) -> (-u(Re` A) x. i) e. CC)
423, 41mpan2 695 . . . . . . 7 |- (-u(Re` A) e. CC -> (-u(Re` A) x. i) e. CC)
4340, 42syl 10 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (-u(Re` A) x. i) e. CC)
4437, 43, 10sylanc 471 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((-u(Re` A) x. i) + (Im` A)) = ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i)))
4536, 44eqtrd 1504 . . . 4 |- (A e. CC -> ((-ui x. (Re` A)) + (-ui x. ((Im` A) x. i))) = ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i)))
462, 14, 453eqtrd 1508 . . 3 |- (A e. CC -> (-ui x. A) = ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i)))
4746fveq2d 3719 . 2 |- (A e. CC -> (Re` (-ui x. A)) = (Re` ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i))))
48 crretOLD 6711 . . 3 |- (((Im` A) e. RR /\ -u(Re` A) e. RR) -> (Re` ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i))) = (Im` A))
4948, 9, 39sylanc 471 . 2 |- (A e. CC -> (Re` ((Im` A) + (-u(Re` A) x. i))) = (Im` A))
5047, 49eqtr2d 1505 1 |- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-ui x. A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215  ici 5216   + caddc 5217   x. cmul 5219  -ucneg 5273  Recre 6686  Imcim 6687
This theorem is referenced by:  recant 6850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-re 6690  df-im 6691
Copyright terms: Public domain