Theorem imai 3417

Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
imai	|- (I"A) = A

Proof of Theorem imai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 3406	. 2 |- (I"A) = {y | E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I)}
2		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
3		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
4	3	ideq 3277	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> x = y)
5	2, 4	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
6	5	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> (x e. A /\ x = y))
7		ancom 435	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ x = y) <-> (x = y /\ x e. A))
8	6, 7	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> (x = y /\ x e. A))
9	8	exbii 1051	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> E.x(x = y /\ x e. A))
10		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
11	3, 10	ceqsexv 1835	. . . 4 |- (E.x(x = y /\ x e. A) <-> y e. A)
12	9, 11	bitr 173	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I) <-> y e. A)
13	12	abbii 1575	. 2 |- {y | E.x(x e. A /\ <.x, y>. e. I)} = {y | y e. A}
14		abid2 1580	. 2 |- {y | y e. A} = A
15	1, 13, 14	3eqtr 1499	1 |- (I"A) = A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  "cima 3173

This theorem is referenced by:  rnresi 3418  cnvresid 3569  ecidsn 4287  idcn 7766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain