Theorem imadmrn 3414

Description: The image of the domain of a class is the range of the class.

Assertion

Ref	Expression
imadmrn	|- (A"dom A) = ran A

Proof of Theorem imadmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
2	1	opeldm 3314	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> x e. dom A)
3	2	pm4.71i 637	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. dom A))
4		ancom 435	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. A /\ x e. dom A) <-> (x e. dom A /\ <.x, y>. e. A))
5	3, 4	bitr2 174	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> <.x, y>. e. A)
6	5	exbii 1051	. . 3 |- (E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A) <-> E.x<.x, y>. e. A)
7	6	abbii 1575	. 2 |- {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
8		dfima3 3406	. 2 |- (A"dom A) = {y | E.x(x e. dom A /\ <.x, y>. e. A)}
9		dfrn3 3304	. 2 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}
10	7, 8, 9	3eqtr4 1505	1 |- (A"dom A) = ran A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  dom cdm 3170  ran crn 3171  "cima 3173

This theorem is referenced by:  fnima 3604  fnex 3607  foima 3676  f1imacnv 3705  fsn2 3836  elunirn 3868  mapsn 4345  phplem4 4511  php3 4515  php3OLD 4516  unir1 4667  cnconst 7780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain