Theorem imadif 3566

Description: The image of a difference is the difference of images.

Assertion

Ref	Expression
imadif	|- (Fun `'F -> (F"(A \ B)) = ((F"A) \ (F"B)))

Proof of Theorem imadif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 969	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun `'F -> A.xFun `'F)
2		hbe1 1014	. . . . . . . . . . 11 |- (E.x(xFy /\ -. x e. B) -> A.xE.x(xFy /\ -. x e. B))
3	1, 2	hban 1007	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> A.x(Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)))
4		mopick 1431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E*x xFy /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (xFy -> -. x e. B))
5		funmo 3524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Fun `'F -> E*x y`'Fx)
6		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. V
7		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. V
8	6, 7	brcnv 3294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y`'Fx <-> xFy)
9	8	mobii 1403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E*x y`'Fx <-> E*x xFy)
10	5, 9	sylib 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Fun `'F -> E*x xFy)
11	4, 10	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (xFy -> -. x e. B))
12	11	con2d 91	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> (x e. B -> -. xFy))
13		imnan 242	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B -> -. xFy) <-> -. (x e. B /\ xFy))
14	12, 13	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> -. (x e. B /\ xFy))
15	3, 14	19.21ai 996	. . . . . . . . 9 |- ((Fun `'F /\ E.x(xFy /\ -. x e. B)) -> A.x -. (x e. B /\ xFy))
16	15	ex 373	. . . . . . . 8 |- (Fun `'F -> (E.x(xFy /\ -. x e. B) -> A.x -. (x e. B /\ xFy)))
17		exancom 1052	. . . . . . . 8 |- (E.x(xFy /\ -. x e. B) <-> E.x(-. x e. B /\ xFy))
18		alnex 1031	. . . . . . . 8 |- (A.x -. (x e. B /\ xFy) <-> -. E.x(x e. B /\ xFy))
19	16, 17, 18	3imtr3g 551	. . . . . . 7 |- (Fun `'F -> (E.x(-. x e. B /\ xFy) -> -. E.x(x e. B /\ xFy)))
20	19	anim2d 560	. . . . . 6 |- (Fun `'F -> ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
21		anandir 511	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)))
22	21	exbii 1049	. . . . . . 7 |- (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> E.x((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)))
23		19.40 1092	. . . . . . 7 |- (E.x((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B /\ xFy)) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)))
24	22, 23	sylbi 199	. . . . . 6 |- (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ E.x(-. x e. B /\ xFy)))
25	20, 24	syl5 21	. . . . 5 |- (Fun `'F -> (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) -> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
26		19.29r 1070	. . . . . . 7 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ A.x -. (x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)))
27	26, 18	sylan2br 453	. . . . . 6 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)))
28		andi 603	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B \/ -. xFy)) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
29		ianor 305	. . . . . . . . 9 |- (-. (x e. B /\ xFy) <-> (-. x e. B \/ -. xFy))
30	29	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ (-. x e. B \/ -. xFy)))
31		an23 485	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B))
32		pm3.24 657	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (xFy /\ -. xFy)
33	32	intnan 690	. . . . . . . . . . 11 |- -. (x e. A /\ (xFy /\ -. xFy))
34		anass 439	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy) <-> (x e. A /\ (xFy /\ -. xFy)))
35	33, 34	mtbir 192	. . . . . . . . . 10 |- -. ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)
36	35	biorfi 735	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
37	31, 36	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> (((x e. A /\ xFy) /\ -. x e. B) \/ ((x e. A /\ xFy) /\ -. xFy)))
38	28, 30, 37	3bitr4 183	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> ((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
39	38	exbii 1049	. . . . . 6 |- (E.x((x e. A /\ xFy) /\ -. (x e. B /\ xFy)) <-> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
40	27, 39	sylib 198	. . . . 5 |- ((E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)) -> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
41	25, 40	impbid1 516	. . . 4 |- (Fun `'F -> (E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy) <-> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy))))
42		eldif 2053	. . . . . 6 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
43	42	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((x e. (A \ B) /\ xFy) <-> ((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
44	43	exbii 1049	. . . 4 |- (E.x(x e. (A \ B) /\ xFy) <-> E.x((x e. A /\ -. x e. B) /\ xFy))
45	6	elima2 3401	. . . . 5 |- (y e. (F"A) <-> E.x(x e. A /\ xFy))
46	6	elima2 3401	. . . . . 6 |- (y e. (F"B) <-> E.x(x e. B /\ xFy))
47	46	negbii 187	. . . . 5 |- (-. y e. (F"B) <-> -. E.x(x e. B /\ xFy))
48	45, 47	anbi12i 482	. . . 4 |- ((y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B)) <-> (E.x(x e. A /\ xFy) /\ -. E.x(x e. B /\ xFy)))
49	41, 44, 48	3bitr4g 554	. . 3 |- (Fun `'F -> (E.x(x e. (A \ B) /\ xFy) <-> (y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B))))
50	6	elima2 3401	. . 3 |- (y e. (F"(A \ B)) <-> E.x(x e. (A \ B) /\ xFy))
51		eldif 2053	. . 3 |- (y e. ((F"A) \ (F"B)) <-> (y e. (F"A) /\ -. y e. (F"B)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 554	. 2 |- (Fun `'F -> (y e. (F"(A \ B)) <-> y e. ((F"A) \ (F"B))))
53	52	eqrdv 1471	1 |- (Fun `'F -> (F"(A \ B)) = ((F"A) \ (F"B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E*wmo 1379   \ cdif 2040   class class class wbr 2614  `'ccnv 3164  "cima 3168  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  phplem4 4497  php3 4501  iscncl 7720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187

Copyright terms: Public domain