Theorem imaco 3501

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ((A o. B)"C) = (A"(B"C))

Proof of Theorem imaco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1650	. . 3 |- (E.y e. (B"C)yAx <-> E.y(y e. (B"C) /\ yAx))
2		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
3	2	elima 3408	. . 3 |- (x e. (A"(B"C)) <-> E.y e. (B"C)yAx)
4	2	elima 3408	. . . . . 6 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.z e. C z(A o. B)x)
5		visset 1813	. . . . . . . 8 |- z e. V
6	5, 2	brco 3289	. . . . . . 7 |- (z(A o. B)x <-> E.y(zBy /\ yAx))
7	6	rexbii 1668	. . . . . 6 |- (E.z e. C z(A o. B)x <-> E.z e. C E.y(zBy /\ yAx))
8	4, 7	bitr 173	. . . . 5 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.z e. C E.y(zBy /\ yAx))
9		rexcom4 1824	. . . . 5 |- (E.z e. C E.y(zBy /\ yAx) <-> E.yE.z e. C (zBy /\ yAx))
10		r19.41v 1763	. . . . . 6 |- (E.z e. C (zBy /\ yAx) <-> (E.z e. C zBy /\ yAx))
11	10	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.yE.z e. C (zBy /\ yAx) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
12	8, 9, 11	3bitr 177	. . . 4 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
13		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
14	13	elima 3408	. . . . . 6 |- (y e. (B"C) <-> E.z e. C zBy)
15	14	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((y e. (B"C) /\ yAx) <-> (E.z e. C zBy /\ yAx))
16	15	exbii 1051	. . . 4 |- (E.y(y e. (B"C) /\ yAx) <-> E.y(E.z e. C zBy /\ yAx))
17	12, 16	bitr4 176	. . 3 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> E.y(y e. (B"C) /\ yAx))
18	1, 3, 17	3bitr4r 184	. 2 |- (x e. ((A o. B)"C) <-> x e. (A"(B"C)))
19	18	eqriv 1474	1 |- ((A o. B)"C) = (A"(B"C))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  "cima 3173   o. ccom 3174

This theorem is referenced by:  cnco 7768  cnpco 7769  cmphmp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain