Theorem iinss 2600

Description: Subset implication for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iinss	|- (E.x e. A B (_ C -> |^|_x e. A B (_ C)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem iinss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 1047	. . . 4 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) -> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
2		df-rex 1650	. . . . 5 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
3		19.28v 1299	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
4	3	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
5	2, 4	bitr4 176	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
6		df-rex 1650	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
7	6	albii 999	. . . 4 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
8	1, 5, 7	3imtr4 219	. . 3 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C))
9		r19.36av 1760	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (A.x e. A y e. B -> y e. C))
10		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
11		eliin 2571	. . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
13	9, 12	syl5ib 206	. . . 4 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
14	13	19.20i 992	. . 3 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
15	8, 14	syl 10	. 2 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
16		dfss2 2058	. . 3 |- (B (_ C <-> A.y(y e. B -> y e. C))
17	16	rexbii 1668	. 2 |- (E.x e. A B (_ C <-> E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C))
18		dfss2 2058	. 2 |- (|^|_x e. A B (_ C <-> A.y(y e. |^|_x e. A B -> y e. C))
19	15, 17, 18	3imtr4 219	1 |- (E.x e. A B (_ C -> |^|_x e. A B (_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  |^|_ciin 2567

This theorem is referenced by:  scott0 4717  iintlem2 10633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-iin 2569

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