Theorem iincld 7621

Description: The indexed intersection of a collection B(x) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
iincld	|- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B e. (Clsd` J))

Distinct variable groups:   x,A   x,J

Proof of Theorem iincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . . . . . . . . 10 |- U.J = U.J
2	1	cldss 7613	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> B (_ U.J)
3	2	ex 373	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> B (_ U.J))
4		dfss4 2232	. . . . . . . 8 |- (B (_ U.J <-> (U.J \ (U.J \ B)) = B)
5	3, 4	syl6ib 212	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> (U.J \ (U.J \ B)) = B))
6	5	r19.20sdv 1702	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.x e. A B e. (Clsd` J) -> A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B))
7	6	imp 350	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B)
8		iineq2 2569	. . . . 5 |- (A.x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = B -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
10	9	3adant2 796	. . 3 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = |^|_x e. A B)
11		iindif2 2601	. . . 4 |- (A =/= (/) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
12	11	3ad2ant2 799	. . 3 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A (U.J \ (U.J \ B)) = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
13	10, 12	eqtr3d 1501	. 2 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B = (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)))
14	1	iscld 7611	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) <-> (B (_ U.J /\ (U.J \ B) e. J)))
15		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((B (_ U.J /\ (U.J \ B) e. J) -> (U.J \ B) e. J)
16	14, 15	syl6bi 214	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (B e. (Clsd` J) -> (U.J \ B) e. J))
17	16	r19.20sdv 1702	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.x e. A B e. (Clsd` J) -> A.x e. A (U.J \ B) e. J))
18	17	imp 350	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> A.x e. A (U.J \ B) e. J)
19		iunopnt 7541	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A.x e. A (U.J \ B) e. J) -> U_x e. A (U.J \ B) e. J)
20	18, 19	syldan 467	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> U_x e. A (U.J \ B) e. J)
21		iunss 2581	. . . . . . 7 |- (U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J <-> A.x e. A (U.J \ B) (_ U.J)
22		difss 2157	. . . . . . . 8 |- (U.J \ B) (_ U.J
23	22	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (U.J \ B) (_ U.J)
24	21, 23	mprgbir 1693	. . . . . 6 |- U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J
25	1	isopn2 7615	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ U_x e. A (U.J \ B) (_ U.J) -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
26	24, 25	mpan2 694	. . . . 5 |- (J e. Top -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
27	26	adantr 389	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U_x e. A (U.J \ B) e. J <-> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J)))
28	20, 27	mpbid 195	. . 3 |- ((J e. Top /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J))
29	28	3adant2 796	. 2 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ U_x e. A (U.J \ B)) e. (Clsd` J))
30	13, 29	eqeltrd 1540	1 |- ((J e. Top /\ A =/= (/) /\ A.x e. A B e. (Clsd` J)) -> |^|_x e. A B e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637   \ cdif 2034   (_ wss 2037  (/)c0 2270  U.cuni 2493  U_ciun 2556  |^|_ciin 2557  ` cfv 3172  Topctop 7530  Clsdccld 7602

This theorem is referenced by:  intcld 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-top 7534  df-cld 7605

Copyright terms: Public domain