Theorem idcnop 9900

Description: The identity function (restricted to Hilbert space) is a continuous operator.

Assertion

Ref	Expression
idcnop	|- (I |` H~) e. ConOp

Proof of Theorem idcnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnopt 9778	. 2 |- ((I |` H~) e. ConOp <-> ((I |` H~):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))))
2		f1oi 3723	. . 3 |- (I |` H~):H~-1-1-onto->H~
3		f1of 3695	. . 3 |- ((I |` H~):H~-1-1-onto->H~ -> (I |` H~):H~-->H~)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- (I |` H~):H~-->H~
5		fvresi 3849	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. H~ -> ((I |` H~)` w) = w)
6		fvresi 3849	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. H~ -> ((I |` H~)` x) = x)
7	5, 6	opreqan12rd 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x)) = (w -h x))
8	7	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) = (normh` (w -h x)))
9	8	breq1d 2634	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> ((normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y <-> (normh` (w -h x)) < y))
10	9	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))
11	10	r19.21aiva 1717	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))
12	11	a1d 12	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0 < y -> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))
13	12	ancld 298	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (0 < y -> (0 < y /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))))
14	13	adantr 391	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (0 < y /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))))
15		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> y e. RR)
16	14, 15	jctild 603	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (y e. RR /\ (0 < y /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))))
17		breq2 2628	. . . . . 6 |- (z = y -> (0 < z <-> 0 < y))
18		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (z = y -> ((normh` (w -h x)) < z <-> (normh` (w -h x)) < y))
19	18	imbi1d 615	. . . . . . 7 |- (z = y -> (((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y) <-> ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))
20	19	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (z = y -> (A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y) <-> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))
21	17, 20	anbi12d 630	. . . . 5 |- (z = y -> ((0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)) <-> (0 < y /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))))
22	21	rcla4ev 1880	. . . 4 |- ((y e. RR /\ (0 < y /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < y -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))
23	16, 22	syl6 22	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y))))
24	23	rgen2 1726	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (normh` (((I |` H~)` w) -h ((I |` H~)` x))) < y)))
25	1, 4, 24	mpbir2an 732	1 |- (I |` H~) e. ConOp

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  Icid 2837   |` cres 3178  -->wf 3184  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498  H~chil 8783   -h cmv 8787  normhcno 8789  ConOpcco 8810

This theorem is referenced by:  nmcopext 9954  nmcoplbt 9955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-cnop 9761

Copyright terms: Public domain