Theorem idcn 7766

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpimaex.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
idcn	|- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Cn J))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 3418	. . . . . . 7 |- ran ( I |` X) = X
2	1	eqimssi 2111	. . . . . 6 |- ran ( I |` X) (_ X
3	2	a1i 8	. . . . 5 |- (J e. Top -> ran ( I |` X) (_ X)
4		fnresi 3603	. . . . 5 |- (I |` X) Fn X
5	3, 4	jctil 292	. . . 4 |- (J e. Top -> ((I |` X) Fn X /\ ran ( I |` X) (_ X))
6		df-f 3194	. . . 4 |- ((I |` X):X-->X <-> ((I |` X) Fn X /\ ran ( I |` X) (_ X))
7	5, 6	sylibr 200	. . 3 |- (J e. Top -> (I |` X):X-->X)
8		funi 3545	. . . . . . . . . . 11 |- Fun I
9	8	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> Fun I)
10		cnvi 3447	. . . . . . . . . . . 12 |- `'I = I
11	10	eqcomi 1479	. . . . . . . . . . 11 |- I = `'I
12		funeq 3535	. . . . . . . . . . 11 |- (I = `'I -> (Fun I <-> Fun `'I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (Fun I <-> Fun `'I)
14	9, 13	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> Fun `'I)
15		funcnvres 3568	. . . . . . . . . 10 |- (Fun `'I -> `'(I |` X) = (`'I |` (I"X)))
16		imai 3417	. . . . . . . . . . . 12 |- (I"X) = X
17	16	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun `'I -> (I"X) = X)
18		reseq2 3369	. . . . . . . . . . 11 |- ((I"X) = X -> (`'I |` (I"X)) = (`'I |` X))
19	17, 18	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (Fun `'I -> (`'I |` (I"X)) = (`'I |` X))
20	15, 19	eqtrd 1507	. . . . . . . . 9 |- (Fun `'I -> `'(I |` X) = (`'I |` X))
21	14, 20	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> `'(I |` X) = (`'I |` X))
22		reseq1 3368	. . . . . . . . 9 |- (`'I = I -> (`'I |` X) = (I |` X))
23	10, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (`'I |` X) = (I |` X)
24	21, 23	syl6eq 1523	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> `'(I |` X) = (I |` X))
25	24	imaeq1d 3403	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) = ((I |` X)"y))
26		cnpimaex.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
27	26	eltopss 7603	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> y (_ X)
28		resiima 3419	. . . . . . 7 |- (y (_ X -> ((I |` X)"y) = y)
29	27, 28	syl 10	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> ((I |` X)"y) = y)
30	25, 29	eqtrd 1507	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) = y)
31		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> y e. J)
32	30, 31	eqeltrd 1548	. . . 4 |- ((J e. Top /\ y e. J) -> (`'(I |` X)"y) e. J)
33	32	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (J e. Top -> A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)
34	7, 33	jca 288	. 2 |- (J e. Top -> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J))
35	26, 26	iscn 7758	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> ((I |` X) e. (J Cn J) <-> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)))
36	35	anidms 434	. 2 |- (J e. Top -> ((I |` X) e. (J Cn J) <-> ((I |` X):X-->X /\ A.y e. J (`'(I |` X)"y) e. J)))
37	34, 36	mpbird 196	1 |- (J e. Top -> (I |` X) e. (J Cn J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  U.cuni 2503  Icid 2831  `'ccnv 3169  ran crn 3171   |` cres 3172  "cima 3173  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -->wf 3178  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Cn ccn 7752

This theorem is referenced by:  metidcn 7900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-cn 7754

Copyright terms: Public domain