Theorem hvsubeq0t 8935

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal.

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0t	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A -h B) = 0h <-> A = B))

Proof of Theorem hvsubeq0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h B))
2	1	eqeq1d 1483	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A -h B) = 0h <-> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = 0h))
3		eqeq1 1481	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A = B <-> if(A e. H~, A, 0h) = B))
4	2, 3	bibi12d 629	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((A -h B) = 0h <-> A = B) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) -h B) = 0h <-> if(A e. H~, A, 0h) = B)))
5		opreq2 3969	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
6	5	eqeq1d 1483	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) -h B) = 0h <-> (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) = 0h))
7		eqeq2 1484	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) = B <-> if(A e. H~, A, 0h) = if(B e. H~, B, 0h)))
8	6, 7	bibi12d 629	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((if(A e. H~, A, 0h) -h B) = 0h <-> if(A e. H~, A, 0h) = B) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) = 0h <-> if(A e. H~, A, 0h) = if(B e. H~, B, 0h))))
9		ax-hv0cl 8873	. . . 4 |- 0h e. H~
10	9	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
11	9	elimel 2394	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
12	10, 11	hvsubeq0 8930	. 2 |- ((if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) = 0h <-> if(A e. H~, A, 0h) = if(B e. H~, B, 0h))
13	4, 8, 12	dedth2h 2387	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A -h B) = 0h <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  (class class class)co 3963  H~chil 8788  0hc0v 8791   -h cmv 8792

This theorem is referenced by:  hvaddeq0t 8936  hvmulcant 8939  hvmulcan2t 8940  hi2eqt 8971  chocuni 9172  unopf1ot 9840  riesz4 9996  hmopidmch 10079  cdjreu 10359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain