Theorem hvsubadd 8933

Description: Relationship between vector subtraction and addition.

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	|- A e. H~
hvnegdi.2	|- B e. H~
hvaddcan.3	|- C e. H~

Assertion

Ref	Expression
hvsubadd	|- ((A -h B) = C <-> (B +h C) = A)

Proof of Theorem hvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 |- A e. H~
2		hvnegdi.2	. . . 4 |- B e. H~
3	1, 2	hvsubval 8890	. . 3 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
4	3	eqeq1i 1482	. 2 |- ((A -h B) = C <-> (A +h (-u1 .h B)) = C)
5		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6	5	negcl 5369	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
7	6, 2	hvmulcl 8884	. . . . . 6 |- (-u1 .h B) e. H~
8	2, 1, 7	hvadd12 8924	. . . . 5 |- (B +h (A +h (-u1 .h B))) = (A +h (B +h (-u1 .h B)))
9	2	hvnegid 8899	. . . . . 6 |- (B +h (-u1 .h B)) = 0h
10	9	opreq2i 3972	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (A +h 0h)
11		ax-hvaddid 8874	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A +h 0h) = A)
12	1, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A +h 0h) = A
13	8, 10, 12	3eqtr 1499	. . . 4 |- (B +h (A +h (-u1 .h B))) = A
14	13	eqeq1i 1482	. . 3 |- ((B +h (A +h (-u1 .h B))) = (B +h C) <-> A = (B +h C))
15	1, 7	hvaddcl 8888	. . . 4 |- (A +h (-u1 .h B)) e. H~
16		hvaddcan.3	. . . 4 |- C e. H~
17	2, 15, 16	hvaddcan 8932	. . 3 |- ((B +h (A +h (-u1 .h B))) = (B +h C) <-> (A +h (-u1 .h B)) = C)
18		eqcom 1477	. . 3 |- (A = (B +h C) <-> (B +h C) = A)
19	14, 17, 18	3bitr3 181	. 2 |- ((A +h (-u1 .h B)) = C <-> (B +h C) = A)
20	4, 19	bitr 173	1 |- ((A -h B) = C <-> (B +h C) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  1c1 5235  -ucneg 5293  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  0hc0v 8791   -h cmv 8792

This theorem is referenced by:  hvsubaddt 8944  omlsilem 9244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain