Theorem hvmul0ort 8849

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero.

Assertion

Ref	Expression
hvmul0ort	|- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h B) = 0h <-> (A = 0 \/ B = 0h)))

Proof of Theorem hvmul0ort

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3964	. . . . . . . 8 |- ((A .h B) = 0h -> ((1 / A) .h (A .h B)) = ((1 / A) .h 0h))
2	1	ad2antlr 405	. . . . . . 7 |- ((((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h (A .h B)) = ((1 / A) .h 0h))
3		recid2t 5709	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((1 / A) x. A) = 1)
4	3	opreq1d 3970	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (((1 / A) x. A) .h B) = (1 .h B))
5	4	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> (((1 / A) x. A) .h B) = (1 .h B))
6		ax-hvmulass 8832	. . . . . . . . . 10 |- (((1 / A) e. CC /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (((1 / A) x. A) .h B) = ((1 / A) .h (A .h B)))
7		recclt 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. CC)
8	7	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. CC)
9		simpll 412	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> A e. CC)
10		simplr 413	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> B e. H~)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> (((1 / A) x. A) .h B) = ((1 / A) .h (A .h B)))
12		ax-hvmulid 8831	. . . . . . . . . 10 |- (B e. H~ -> (1 .h B) = B)
13	12	ad2antlr 405	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> (1 .h B) = B)
14	5, 11, 13	3eqtr3d 1513	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h (A .h B)) = B)
15	14	adantlr 393	. . . . . . 7 |- ((((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h (A .h B)) = B)
16		hvmul0t 8848	. . . . . . . . . 10 |- ((1 / A) e. CC -> ((1 / A) .h 0h) = 0h)
17	7, 16	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h 0h) = 0h)
18	17	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h 0h) = 0h)
19	18	adantlr 393	. . . . . . 7 |- ((((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) /\ A =/= 0) -> ((1 / A) .h 0h) = 0h)
20	2, 15, 19	3eqtr3d 1513	. . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) /\ A =/= 0) -> B = 0h)
21	20	ex 373	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) -> (A =/= 0 -> B = 0h))
22		df-ne 1585	. . . . 5 |- (A =/= 0 <-> -. A = 0)
23	21, 22	syl5ibr 207	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) -> (-. A = 0 -> B = 0h))
24	23	orrd 233	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (A .h B) = 0h) -> (A = 0 \/ B = 0h))
25	24	ex 373	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h B) = 0h -> (A = 0 \/ B = 0h)))
26		opreq1 3963	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (A .h B) = (0 .h B))
27	26	eqeq1d 1481	. . . . 5 |- (A = 0 -> ((A .h B) = 0h <-> (0 .h B) = 0h))
28		ax-hvmul0 8835	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (0 .h B) = 0h)
29	27, 28	syl5cbir 211	. . . 4 |- (B e. H~ -> (A = 0 -> (A .h B) = 0h))
30	29	adantl 388	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A = 0 -> (A .h B) = 0h))
31		opreq2 3964	. . . . . 6 |- (B = 0h -> (A .h B) = (A .h 0h))
32	31	eqeq1d 1481	. . . . 5 |- (B = 0h -> ((A .h B) = 0h <-> (A .h 0h) = 0h))
33		hvmul0t 8848	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A .h 0h) = 0h)
34	32, 33	syl5cbir 211	. . . 4 |- (A e. CC -> (B = 0h -> (A .h B) = 0h))
35	34	adantr 389	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (B = 0h -> (A .h B) = 0h))
36	30, 35	jaod 424	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((A = 0 \/ B = 0h) -> (A .h B) = 0h))
37	25, 36	impbid 515	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h B) = 0h <-> (A = 0 \/ B = 0h)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222   / cdiv 5277  H~chil 8743   .h csm 8745  0hc0v 8746

This theorem is referenced by:  hvmulcant 8894  hvmulcan2t 8895  nmlnop0ALT 9876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hv0cl 8828  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvmul0 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682

Copyright terms: Public domain