Theorem htthlem8 8623

Description: Lemma for htthi 8628.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem8	|- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ (d x. (N` A)))

Distinct variable groups:   v,u,x,y,A   k,d,C   D,d,k   F,d,k   f,k,N   O,d   u,m,v,w,x,y,P   u,k,v,x,y   f,m,u,v,w,x,y,T,k   u,d,v,U,k   f,d,m,w,x,y,X,k,u,v

Proof of Theorem htthlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. . . . . 6 |- (((F` k):X-->CC /\ A e. X) -> ((F` k)` A) e. CC)
2		htthlem3.u	. . . . . . . 8 |- U e. CHil
3	2	hlnvi 8592	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
4		htthlem3.c	. . . . . . . 8 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
5	4	cnnv 8303	. . . . . . 7 |- C e. NrmCVec
6		htthlem3.1	. . . . . . . 8 |- X = (Base` U)
7	4	cnnvba 8305	. . . . . . . 8 |- CC = (Base` C)
8		htthlem3.d	. . . . . . . 8 |- D = (U BLnOp C)
9	6, 7, 8	blof 8441	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec /\ (F` k) e. D) -> (F` k):X-->CC)
10	3, 5, 9	mp3an12 908	. . . . . 6 |- ((F` k) e. D -> (F` k):X-->CC)
11	1, 10	sylan 450	. . . . 5 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> ((F` k)` A) e. CC)
12		absclt 6833	. . . . 5 |- (((F` k)` A) e. CC -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
13	11, 12	syl 10	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
14	13	3adant2 800	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
15	14	adantr 391	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) e. RR)
16		axmulrcl 5286	. . . . 5 |- (((O` (F` k)) e. RR /\ (N` A) e. RR) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
17		htthlem3.o	. . . . . . 7 |- O = (UnormOpC)
18	6, 7, 17, 8	nmblore 8442	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec /\ (F` k) e. D) -> (O` (F` k)) e. RR)
19	3, 5, 18	mp3an12 908	. . . . 5 |- ((F` k) e. D -> (O` (F` k)) e. RR)
20		htthlem3.n	. . . . . . 7 |- N = (norm` U)
21	6, 20	nvcl 8283	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
22	3, 21	mpan 697	. . . . 5 |- (A e. X -> (N` A) e. RR)
23	16, 19, 22	syl2an 456	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
24	23	3adant2 800	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
25	24	adantr 391	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) e. RR)
26		axmulrcl 5286	. . . . 5 |- ((d e. RR /\ (N` A) e. RR) -> (d x. (N` A)) e. RR)
27	26, 22	sylan2 453	. . . 4 |- ((d e. RR /\ A e. X) -> (d x. (N` A)) e. RR)
28	27	3adant1 799	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (d x. (N` A)) e. RR)
29	28	adantr 391	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (d x. (N` A)) e. RR)
30	4	cnnvnm 8308	. . . . 5 |- abs = (norm` C)
31	6, 20, 30, 17, 8, 3, 5	nmblolbi 8456	. . . 4 |- (((F` k) e. D /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
32	31	3adant2 800	. . 3 |- (((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
33	32	adantr 391	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ ((O` (F` k)) x. (N` A)))
34		lemul1it 5839	. . 3 |- ((((O` (F` k)) e. RR /\ d e. RR /\ ((N` A) e. RR /\ 0 <_ (N` A))) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) <_ (d x. (N` A)))
35		id 59	. . 3 |- (d e. RR -> d e. RR)
36	6, 20	nvge0 8298	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))
37	3, 36	mpan 697	. . . 4 |- (A e. X -> 0 <_ (N` A))
38	22, 37	jca 288	. . 3 |- (A e. X -> ((N` A) e. RR /\ 0 <_ (N` A)))
39	34, 19, 35, 38	syl3anl 878	. 2 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> ((O` (F` k)) x. (N` A)) <_ (d x. (N` A)))
40	15, 25, 29, 33, 39	letrd 5538	1 |- ((((F` k) e. D /\ d e. RR /\ A e. X) /\ (O` (F` k)) <_ d) -> (abs` ((F` k)` A)) <_ (d x. (N` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307  NNcn 5308  abscabs 6751  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205  .icip 8345   LnOp clno 8397  normOpcnmo 8398   BLnOp cblo 8399  CHilchl 8585

This theorem is referenced by:  htthlem10 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-lno 8401  df-nmo 8402  df-blo 8403  df-0o 8404  df-bn 8519  df-hl 8586

Copyright terms: Public domain