Theorem htthlem12 8574

Description: Lemma for htthi 8575. Linear operator T is bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
htthlem3.1	|- X = (Base` U)
htthlem3.p	|- P = (.i` U)
htthlem3.l	|- L = (U LnOp U)
htthlem3.b	|- B = (U BLnOp U)
htthlem3.u	|- U e. CHil
htthlem3.t	|- T e. L
htthlem3.a	|- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
htthlem3.f	|- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
htthlem3.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
htthlem3.d	|- D = (U BLnOp C)
htthlem3.n	|- N = (norm` U)
htthlem3.o	|- O = (UnormOpC)

Assertion

Ref	Expression
htthlem12	|- T e. B

Distinct variable groups:   v,u,x,y   f,N   u,m,v,w,x,y,P   f,m,u,v,w,x,y,T   u,U,v   f,X,m,u,v,w,x,y

Proof of Theorem htthlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htthlem3.u	. . . 4 |- U e. CHil
2	1	hlnvi 8540	. . 3 |- U e. NrmCVec
3		eqid 1473	. . . 4 |- (UnormOpU) = (UnormOpU)
4		htthlem3.l	. . . 4 |- L = (U LnOp U)
5		htthlem3.b	. . . 4 |- B = (U BLnOp U)
6	3, 4, 5	isblo2 8388	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpU)` T) e. RR)))
7	2, 2, 6	mp2an 696	. 2 |- (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpU)` T) e. RR))
8		htthlem3.t	. 2 |- T e. L
9		htthlem3.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
10	9, 9, 4	lnof 8363	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ U e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->X)
11	2, 2, 8, 10	mp3an 914	. . . 4 |- T:X-->X
12		htthlem3.p	. . . . . . . . 9 |- P = (.i` U)
13		htthlem3.a	. . . . . . . . 9 |- ((x e. X /\ y e. X) -> ((T` x)Py) = (xP(T` y)))
14		htthlem3.f	. . . . . . . . 9 |- F = {<.m, w>. | (m e. NN /\ w = {<.v, u>. | (v e. X /\ u = ((T` v)P(f` m)))})}
15		htthlem3.c	. . . . . . . . 9 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
16		htthlem3.d	. . . . . . . . 9 |- D = (U BLnOp C)
17		htthlem3.n	. . . . . . . . 9 |- N = (norm` U)
18		htthlem3.o	. . . . . . . . 9 |- O = (UnormOpC)
19	9, 12, 4, 5, 1, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18	htthlem11 8573	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z)
20	9, 12, 4, 5, 1, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18	htthlem10 8572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ (z e. RR /\ (O` (F` k)) <_ z)) -> (N` (T` (f` k))) <_ z)
21	20	exp32 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (z e. RR -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z)))
22	21	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ z e. RR) -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z))
23	22	an1rs 489	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->X /\ z e. RR) /\ k e. NN) -> ((O` (F` k)) <_ z -> (N` (T` (f` k))) <_ z))
24	23	r19.20dva 1706	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ z e. RR) -> (A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
25	24	r19.22dva 1736	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->X -> (E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
26	25	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> (E.z e. RR A.k e. NN (O` (F` k)) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z))
27	19, 26	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z)
28	9, 4, 1, 8	htthlem1 8563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (T` (f` k)) e. X)
29	9, 17	nvcl 8239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (T` (f` k)) e. X) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
30	2, 29	mpan 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T` (f` k)) e. X -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (N` (T` (f` k))) e. RR)
32	31	anim1i 334	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->X /\ k e. NN) /\ (N` (T` (f` k))) <_ z) -> ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z))
33	32	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((N` (T` (f` k))) <_ z -> ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
34	33	r19.20dva 1706	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->X -> (A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
35	34	r19.22sdv 1735	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->X -> (E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
36	35	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> (E.z e. RR A.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ z -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z)))
37	27, 36	mpd 26	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z))
38		bndndx 6028	. . . . . 6 |- (E.z e. RR A.k e. NN ((N` (T` (f` k))) e. RR /\ (N` (T` (f` k))) <_ z) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
39	37, 38	syl 10	. . . . 5 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
40	39	ax-gen 961	. . . 4 |- A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)
41	11, 40	pm3.2i 285	. . 3 |- (T:X-->X /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k))
42	9, 9, 17, 17, 3, 2, 2	nmobndseqi 8385	. . 3 |- ((T:X-->X /\ A.f((f:NN-->X /\ A.k e. NN (N` (f` k)) <_ 1) -> E.k e. NN (N` (T` (f` k))) <_ k)) -> ((UnormOpU)` T) e. RR)
43	41, 42	ax-mp 7	. 2 |- ((UnormOpU)` T) e. RR
44	7, 8, 43	mpbir2an 729	1 |- T e. B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  <.cop 2407   class class class wbr 2614  {copab 2661  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   <_ cle 5275  NNcn 5276  abscabs 6689  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  normcnm 8161  .icip 8296   LnOp clno 8348  normOpcnmo 8349   BLnOp cblo 8350  CHilchl 8533

This theorem is referenced by:  htthi 8575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-iso 3194  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225<