Theorem hstoht 10069

Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero.

Assertion

Ref	Expression
hstoht	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (S` A) = 0h)

Proof of Theorem hstoht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his7t 8877	. . . . . . . 8 |- (((S` A) e. H~ /\ (S` A) e. H~ /\ (S` (_|_` A)) e. H~) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))))
2		hstclt 10054	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
3		hstclt 10054	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ (_|_` A) e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
4		chocclt 9100	. . . . . . . . 9 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
5	3, 4	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
6	1, 2, 2, 5	syl3anc 856	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))))
7		normsqt 8922	. . . . . . . . . 10 |- ((S` A) e. H~ -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` A)))
8	2, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` A)))
9	8	eqcomd 1472	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih (S` A)) = ((normh` (S` A))^2))
10		ococt 9163	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CH -> (_|_` (_|_` A)) = A)
11		eqimss2 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_|_` (_|_` A)) = A -> A (_ (_|_` (_|_` A)))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH -> A (_ (_|_` (_|_` A)))
13	4, 12	jca 288	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CH -> ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A))))
14	13	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A))))
15		hstortht 10057	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A)))) -> ((S` A) .ih (S` (_|_` A))) = 0)
16	14, 15	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih (S` (_|_` A))) = 0)
17	9, 16	opreq12d 3963	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))) = (((normh` (S` A))^2) + 0))
18		normclt 8912	. . . . . . . . . . 11 |- ((S` A) e. H~ -> (normh` (S` A)) e. RR)
19	2, 18	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` A)) e. RR)
20		resqclt 6552	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` (S` A)) e. RR -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
21	19, 20	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
22	21	recnd 5287	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. CC)
23		ax0id 5253	. . . . . . . 8 |- (((normh` (S` A))^2) e. CC -> (((normh` (S` A))^2) + 0) = ((normh` (S` A))^2))
24	22, 23	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + 0) = ((normh` (S` A))^2))
25	6, 17, 24	3eqtrrd 1504	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))))
26		hstoct 10059	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
27	26	opreq2d 3961	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = ((S` A) .ih (S` H~)))
28	25, 27	eqtrd 1499	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` H~)))
29		id 59	. . . . 5 |- (((S` A) .ih (S` H~)) = 0 -> ((S` A) .ih (S` H~)) = 0)
30	28, 29	sylan9eq 1519	. . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A))^2) = 0)
31	30	3impa 826	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A))^2) = 0)
32	19	recnd 5287	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` A)) e. CC)
33		sq0t 6550	. . . . 5 |- ((normh` (S` A)) e. CC -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
34	32, 33	syl 10	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
35	34	3adant3 797	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
36	31, 35	mpbid 195	. 2 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (normh` (S` A)) = 0)
37		hst0ht 10065	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 0 <-> (S` A) = 0h))
38	37	3adant3 797	. 2 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A)) = 0 <-> (S` A) = 0h))
39	36, 38	mpbid 195	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (S` A) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209  2c2 5908  ^cexp 6500  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730   .ih csp 8732  normhcno 8733  CHcch 8737  _|_cort 8738  CHStateschst 8771

This theorem is referenced by:  hst0t 10070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-shsum 9188  df-chj 9190  df-hst 10050

Copyright terms: Public domain