Theorem hstclt 10144

Description: Closure of the value of a Hilbert-space-valued state.

Assertion

Ref	Expression
hstclt	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)

Proof of Theorem hstclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3814	. 2 |- ((S:CH-->H~ /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
2		hstelt 10142	. . 3 |- (S e. CHStates <-> (S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (((S` x) .ih (S` y)) = 0 /\ (S` (x vH y)) = ((S` x) +h (S` y))))))
3		3simp1 788	. . 3 |- ((S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (((S` x) .ih (S` y)) = 0 /\ (S` (x vH y)) = ((S` x) +h (S` y))))) -> S:CH-->H~)
4	2, 3	sylbi 199	. 2 |- (S e. CHStates -> S:CH-->H~)
5	1, 4	sylan 448	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  1c1 5235  H~chil 8788   +h cva 8789   .ih csp 8793  normhcno 8794  CHcch 8798  _|_cort 8799   vH chj 8802  CHStateschst 8832

This theorem is referenced by:  hstnmoct 10150  hstle1t 10153  hst1ht 10154  hst0ht 10155  hstpytht 10156  hstlet 10157  hstlest 10158  hstoht 10159  hstrlem6 10191

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-sh 9076  df-ch 9092  df-hst 10140

Copyright terms: Public domain